方企勤 第四章 级 数 第5题

教材习题

📝 题目

例 5 求证: 级数 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n + x}$ 在 $x \geq 0$ 上一致收敛.

💡 答案解析

证 因为

$$ \left| {S\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) }\right| = \left| {{r}_{n}\left( x\right) }\right| \leq \frac{1}{n + 1 + x} \leq \frac{1}{n + 1}, $$

所以

$$ \mathop{\sup }\limits_{{x \geq 0}}\left| {S\left( x\right) - {S}_{n}\left( x\right) }\right| \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow \infty }\right) , $$

从而原级数在 $x \geq 0$ 上一致收敛.

评注 以上三个例题说明了 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{u}_{n}\left( x\right)$ 在 $X$ 上一致收敛的条件下,关于 $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 可能发生如下三种情况:

(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $X$ 上一致收敛;

(2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $X$ 上收敛但不一致收敛；

(3) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\left| {{u}_{n}\left( x\right) }\right|$ 在 $X$ 上发散.

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：估计余项的上界
考虑级数的余项 r_n(x) = S(x) - S_n(x)。由于级数是交错级数，且通项绝对值递减趋于0，根据莱布尼茨判别法，余项的绝对值不超过第一项绝对值，即 |r_n(x)| ≤ 1/(n+1+x)。
公式：|r_n(x)| ≤ 1/(n+1+x)
提示：注意交错级数余项估计的条件：通项绝对值单调递减且趋于0。
步骤 2/3
目标：得到一致收敛的估计
由于 x ≥ 0，有 1/(n+1+x) ≤ 1/(n+1)，因此 |r_n(x)| ≤ 1/(n+1)。这个上界与 x 无关，所以 sup_{x≥0} |r_n(x)| ≤ 1/(n+1) → 0 (n→∞)。
公式：sup_{x≥0} |S(x)-S_n(x)| ≤ 1/(n+1) → 0
提示：一致收敛要求余项的上界与 x 无关且趋于0。
步骤 3/3
目标：得出结论
由一致收敛的定义，原级数在 x ≥ 0 上一致收敛。
提示：注意：这里只证明了原级数一致收敛，但绝对值级数不一定一致收敛。

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