方企勤 第五章 多元函数微分学 第4题
📝 题目
例 4 设 $\Omega$ 是有界闭区域, $G$ 是闭区域,且 $G \subset \Omega$ . 求证: 3 闭区域 $V$ ,使得 $G \subset V \subset \bar{V} \subset \Omega$ .
💡 答案解析
证 对于 $\forall x \in G$ ,由
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用开覆盖定理构造开覆盖
对于任意 x ∈ G，由于 G ⊂ Ω 且 Ω 是开集（有界闭区域通常指有界闭集，但题目中Ω是有界闭区域，通常理解为有界闭集，但这里需要Ω是开集才能使用开覆盖定理，可能题目有误或需将Ω视为开区域。假设Ω是开集），存在 r_x > 0 使得开球 B(x, r_x) ⊂ Ω。这样，开球族 {B(x, r_x/2) | x ∈ G} 覆盖了 G。由于 G 是闭集且有界（因为Ω有界），G 是紧集，故存在有限子覆盖 {B(x_i, r_i/2)}，i=1,...,n。
公式：G ⊂ ∪_{i=1}^n B(x_i, r_i/2)
提示：注意：有界闭区域通常指有界闭集，但这里需要Ω是开集才能使用开覆盖定理。若Ω是闭集，则需另寻他法。
步骤 2/3
目标：构造闭区域V
令 V = ∪_{i=1}^n \overline{B(x_i, r_i/2)}，即有限个闭球的并集。由于每个闭球是闭集，有限并仍是闭集，且 V 有界，故 V 是闭区域。显然 G ⊂ V。
公式：V = ∪_{i=1}^n \overline{B(x_i, r_i/2)}
提示：闭球的闭包就是自身。
步骤 3/3
目标：验证V的闭包包含于Ω
由于每个闭球 \overline{B(x_i, r_i/2)} ⊂ B(x_i, r_i) ⊂ Ω，因此 V ⊂ Ω。又因为 V 是闭集，所以 \bar{V} = V ⊂ Ω。
公式：\bar{V} = V ⊂ Ω
提示：这里V已经是闭集，所以闭包等于自身。
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