方企勤 第五章 多元函数微分学 第11题

教材习题

📝 题目

例 11 设 $f\left( x\right)$ 在 ${\mathbf{R}}^{m}$ 上连续,满足:

(1) $x \neq 0$ 时, $f\left( x\right) > 0$ ；

(2)对任意 $x$ 和正常数 $c,f\left( {cx}\right) = {cf}\left( x\right)$ .

求证: 存在 $a > 0,b > 0$ ,使得 $a\left| \mathbf{x}\right| \leq f\left( \mathbf{x}\right) \leq b\left| \mathbf{x}\right|$ .

思路 根据 $f$ 的性质,要证的结论可改写成

$$ a \leq f\left( {x/\left| x\right| }\right) \leq b\;\left( {\forall x \in {\mathbf{R}}^{m}\smallsetminus \{ 0\} }\right) . $$

💡 答案解析

证 考虑有界闭集 $S = \{ \mathbf{x} \mid \left| \mathbf{x}\right| = 1\}$ . 由于 $f\left( \mathbf{x}\right)$ 在 $S$ 上连续,根据连续函数的性质, $f\left( x\right)$ 必在 $S$ 上的 ${x}_{1}$ 和 ${x}_{2}$ 点分别取到它在 $S$ 上的最大值 $f\left( {x}_{1}\right)$ 和最小值 $f\left( {x}_{2}\right)$ . 若记 $b = f\left( {x}_{1}\right) > 0,a = f\left( {x}_{2}\right) > 0$ ,那么 $\forall \mathbf{x} \in {\mathbf{R}}^{m} \smallsetminus \{ 0\} ,\mathbf{x}/\left| \mathbf{x}\right| \in S$ ,所以

$$ a \leq f\left( {x/\left| x\right| }\right) \leq b\text{ 或 }a\left| x\right| \leq f\left( x\right) \leq b\left| x\right| . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：将结论转化为单位球面上的不等式
由于f(cx)=cf(x)，要证a|x| ≤ f(x) ≤ b|x|，等价于证明a ≤ f(x/|x|) ≤ b对任意非零x成立。因此只需考虑单位球面S={x: |x|=1}上的函数值。
公式：f(x) = |x| f(x/|x|)
提示：利用齐次性将问题归结到紧集上。
步骤 2/3
目标：利用连续函数在紧集上的最值性质
S是R^m中的有界闭集，f在S上连续，因此f在S上取得最大值和最小值。设最大值点为x1，最小值点为x2，记b=f(x1)，a=f(x2)。由条件(1)知x≠0时f(x)>0，故a>0，b>0。
公式：a = min_{x∈S} f(x), b = max_{x∈S} f(x)
提示：紧集上连续函数必有最大值和最小值。
步骤 3/3
目标：将最值推广到整个空间
对任意非零x，有x/|x|∈S，因此a ≤ f(x/|x|) ≤ b。两边乘以|x|得a|x| ≤ f(x) ≤ b|x|。当x=0时，由齐次性f(0)=0，不等式也成立。
公式：a|x| ≤ f(x) ≤ b|x|
提示：注意x=0时不等式成立。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第10题 返回列表 第1题 →