💡 答案解析
解 利用一元函数的泰勒公式, 我们有
$$ f\left( {x,y}\right) = \frac{x}{y} = \frac{1 + \left( {x - 1}\right) }{1 + \left( {y - 1}\right) } $$
$$ = \left\lbrack {1 + \left( {x - 1}\right) }\right\rbrack \left\lbrack {\mathop{\sum }\limits_{{k = 0}}^{n}{\left( -1\right) }^{n}{\left( y - 1\right) }^{n} + o\left( {\left( y - 1\right) }^{n}\right) }\right\rbrack $$
$$ = 1 + \left( {x - 1}\right) - \left( {y - 1}\right) - \left( {x - 1}\right) \left( {y - 1}\right) $$
$$ + {\left( y - 1\right) }^{2} + \cdots + {\left( -1\right) }^{n - 1}\left( {x - 1}\right) {\left( y - 1\right) }^{n - 1} $$
$$ + {\left( -1\right) }^{n}{\left( y - 1\right) }^{n} + o\left( {\rho }^{n}\right) , $$
其中 $\rho = \sqrt{{\left( x - 1\right) }^{2} + {\left( y - 1\right) }^{2}}$ .
评注 求具体函数的泰勒公式时, 多数可化为一元函数泰勒公式来处理.
📋 详细解题步骤
目标：将函数改写为便于展开的形式
将函数 f(x,y)=x/y 在点 (1,1) 处改写为 f(x,y) = (1+(x-1))/(1+(y-1))，以便利用一元函数的泰勒公式。
公式：f(x,y) = \frac{1+(x-1)}{1+(y-1)}
提示：注意将变量替换为增量形式，即 x=1+(x-1), y=1+(y-1)。
目标：对分母使用一元泰勒公式展开
将分母 1/(1+(y-1)) 视为一元函数 g(t)=1/(1+t) 在 t=0 处的泰勒展开，其中 t=y-1。展开到 n 阶，得到 ∑_{k=0}^n (-1)^k (y-1)^k + o((y-1)^n)。
公式：\frac{1}{1+(y-1)} = \sum_{k=0}^n (-1)^k (y-1)^k + o((y-1)^n)
提示：注意展开的余项是 o((y-1)^n)，但最终需要合并为 o(ρ^n)。
目标：将分子与展开后的分母相乘
将分子 (1+(x-1)) 与分母的泰勒展开式相乘，得到 f(x,y) = [1+(x-1)] * [∑_{k=0}^n (-1)^k (y-1)^k + o((y-1)^n)]。
公式：f(x,y) = [1+(x-1)] \left[ \sum_{k=0}^n (-1)^k (y-1)^k + o((y-1)^n) \right]
提示：乘法时注意保留所有项直到 n 阶，并合并同类项。
目标：展开并整理多项式项
逐项相乘并合并，得到前几项：1 + (x-1) - (y-1) - (x-1)(y-1) + (y-1)^2 + ... + (-1)^{n-1}(x-1)(y-1)^{n-1} + (-1)^n (y-1)^n。
公式：f(x,y) = 1 + (x-1) - (y-1) - (x-1)(y-1) + (y-1)^2 + \cdots + (-1)^{n-1}(x-1)(y-1)^{n-1} + (-1)^n (y-1)^n + o(\rho^n)
提示：注意交叉项 (x-1)(y-1)^k 的系数为 (-1)^k，而纯 (y-1)^k 项系数为 (-1)^k。
目标：合并余项
将余项统一为 o(ρ^n)，其中 ρ = √((x-1)^2+(y-1)^2)，因为所有低阶项已包含在多项式中，高阶项可合并。
公式：o((y-1)^n) 和 o((x-1)(y-1)^{n-1}) 等可合并为 o(ρ^n)
提示：注意 ρ 是距离，余项表示当 (x,y)→(1,1) 时趋于 0 的速度比 ρ^n 快。