方企勤 第五章 多元函数微分学 第11题

教材习题

📝 题目

例 11 设 $\Omega \subset {\mathbf{R}}^{m}$ 是凸域, $f\left( \mathbf{x}\right) \in {C}^{2}\left( {\Omega ,\mathbf{R}}\right)$ ,且满足

$$ f\left( \mathbf{x}\right) \geq f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) + \mathrm{D}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) \;\left( {\forall \mathbf{x},{\mathbf{x}}_{0} \in \Omega }\right) , $$

💡 答案解析

证明: $f\left( \mathbf{x}\right)$ 的海色矩阵 ${H}_{f}\left( \mathbf{x}\right)$ 是半正定的.

证 $\forall {x}_{0} \in \Omega ,x \in {\mathbf{R}}^{m}$ 为任一向量,当 $t$ 充分小时,点 ${x}_{0} + t(x -$ $\left. {x}_{0}\right) \in \Omega$ . 由泰勒公式得:

$$ f\left\lbrack {{\mathbf{x}}_{0} + t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) }\right\rbrack = f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) + \mathrm{D}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) $$

$$ + \frac{{t}^{2}}{2}{\left( \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right) }^{\mathrm{T}}{H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) + o\left( {{t}^{2}{\left| \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right| }^{2}}\right) . $$

根据条件

$$ f\left\lbrack {{\mathbf{x}}_{0} + t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) }\right\rbrack \geq f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) + \mathrm{D}f\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) t\left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) , $$

故有 $\frac{{t}^{2}}{2}{\left( \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right) }^{\mathrm{T}}{H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) + o\left( {{t}^{2}{\left| \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right| }^{2}}\right) \geq 0$ .

上式消去 ${t}^{2}$ ,并令 $t \rightarrow 0$ ,即得

$$ {\left( \mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}\right) }^{\mathrm{T}}{H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right) \left( {\mathbf{x} - {\mathbf{x}}_{0}}\right) \geq 0. $$

这表明矩阵 ${H}_{f}\left( {\mathbf{x}}_{0}\right)$ 是半正定的. 由于 ${\mathbf{x}}_{0}$ 任意性,所以海色矩阵在 $\mathbf{\Omega }$ 上是半正定的.

评注 由本题,通过循环证明可以看出下列三个命题是等价的； 函数在凸域上为凹函数; 函数表示的曲面位于切平面之上; 函数的海色矩阵是半正定的.

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入参数并利用泰勒展开
任取 x0 ∈ Ω 和任意向量 x ∈ R^m，当 t 充分小时，点 x0 + t(x - x0) ∈ Ω。将 f 在 x0 处泰勒展开到二阶。
公式：f[x0 + t(x - x0)] = f(x0) + Df(x0) t(x - x0) + (t^2/2) (x - x0)^T H_f(x0) (x - x0) + o(t^2 |x - x0|^2)
提示：注意泰勒展开的余项形式。
步骤 2/4
目标：应用已知不等式条件
由题设条件，f[x0 + t(x - x0)] ≥ f(x0) + Df(x0) t(x - x0)，代入泰勒展开式，得到不等式。
公式：(t^2/2) (x - x0)^T H_f(x0) (x - x0) + o(t^2 |x - x0|^2) ≥ 0
提示：不等式两边消去相同项。
步骤 3/4
目标：消去 t^2 并取极限
将不等式两边除以 t^2（t ≠ 0），然后令 t → 0，余项趋于 0，得到二次型非负。
公式：(x - x0)^T H_f(x0) (x - x0) ≥ 0
提示：极限过程需注意余项处理。
步骤 4/4
目标：由任意性得到半正定性
由于 x0 和 x 的任意性，对任意向量 v = x - x0，有 v^T H_f(x0) v ≥ 0，故 H_f(x0) 半正定。由 x0 任意，H_f 在 Ω 上半正定。
提示：半正定矩阵的定义：所有特征值非负。

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