方企勤 第五章 多元函数微分学 第1题
📝 题目
例 1 设 $x = x\left( {y,z}\right) ,y = y\left( {z,x}\right) ,z = z\left( {x,y}\right)$ 为由方程 $F(x,y$ , $z) = 0$ 所确定的隐函数. 证明:
$$ \frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = - 1 $$
💡 答案解析
证 由隐函数定理知
$$ \frac{\partial x}{\partial y} = \frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial x}},\;\frac{\partial y}{\partial z} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial z}}{\frac{\partial F}{\partial y}},\;\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}, $$
所以得
$$ \frac{\partial x}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = - 1 $$
评注 多元偏导数记号与一元微分记号不同,它不能理解成两个量之比.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出隐函数求导公式
由隐函数定理，对于方程F(x,y,z)=0，若F对各个变量的偏导数存在且不为零，则隐函数的偏导数可表示为：∂x/∂y = - (∂F/∂y)/(∂F/∂x)，∂y/∂z = - (∂F/∂z)/(∂F/∂y)，∂z/∂x = - (∂F/∂x)/(∂F/∂z)。
公式：∂x/∂y = - (∂F/∂y)/(∂F/∂x), ∂y/∂z = - (∂F/∂z)/(∂F/∂y), ∂z/∂x = - (∂F/∂x)/(∂F/∂z)
提示：注意每个偏导数公式中分母是相应自变量的偏导数，且前面有负号。
步骤 2/3
目标：将三个偏导数相乘
将上述三个表达式相乘： (∂x/∂y) * (∂y/∂z) * (∂z/∂x) = [ - (∂F/∂y)/(∂F/∂x) ] * [ - (∂F/∂z)/(∂F/∂y) ] * [ - (∂F/∂x)/(∂F/∂z) ]。
公式：乘积 = (-1)^3 * (∂F/∂y * ∂F/∂z * ∂F/∂x) / (∂F/∂x * ∂F/∂y * ∂F/∂z)
提示：注意三个负号相乘得-1。
步骤 3/3
目标：化简乘积
分子和分母中的偏导数因子完全相同，可以约去，得到乘积 = -1。
公式：∂x/∂y * ∂y/∂z * ∂z/∂x = -1
提示：此结果与具体函数F无关，是恒等式。
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