方企勤 第五章 多元函数微分学 第3题

教材习题

📝 题目

解 $\forall R > 0$ ,考虑矩形 $\left| x\right| \leq R,\left| t\right| \leq R$ . 函数 $\displaystyle{\int }_{t}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s}$ 及其对 $x$ 的偏导数 ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 在矩形上连续, $\varphi \left( x\right) = 0,\psi \left( x\right) = x$ 显然符合定理 1 中条件, 于是有

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}t + {\int }_{x}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s = x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$

因 $f\left( 0\right) = 0$ ,所以

$$ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}t{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}\mathrm{\;d}t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$

💡 答案解析

解 $\forall R > 0$ ,考虑矩形 $\left| x\right| \leq R,\left| t\right| \leq R$ . 函数 $\displaystyle{\int }_{t}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s}$ 及其对 $x$ 的偏导数 ${\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}$ 在矩形上连续, $\varphi \left( x\right) = 0,\psi \left( x\right) = x$ 显然符合定理 1 中条件, 于是有

$$ {f}^{\prime }\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}\mathrm{\;d}t + {\int }_{x}^{x}{\mathrm{e}}^{-{s}^{2}}\mathrm{\;d}s = x{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$

因 $f\left( 0\right) = 0$ ,所以

$$ f\left( x\right) = {\int }_{0}^{x}t{\mathrm{e}}^{-{t}^{2}}\mathrm{\;d}t = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{-{x}^{2}}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：验证函数和偏导数在矩形上连续，并确认积分上下限函数满足定理条件
对于任意R>0，考虑矩形|x|≤R, |t|≤R。函数∫_t^x e^{-s^2} ds及其对x的偏导数e^{-x^2}在矩形上连续。φ(x)=0, ψ(x)=x显然符合定理1中条件。
提示：定理1通常指含参变量积分求导的莱布尼茨法则，要求被积函数及其偏导数连续，且积分限可导。
步骤 2/3
目标：应用莱布尼茨法则求f'(x)
由莱布尼茨法则，f'(x) = ∫_{φ(x)}^{ψ(x)} ∂/∂x (e^{-s^2}) ds + e^{-ψ(x)^2} ψ'(x) - e^{-φ(x)^2} φ'(x) = ∫_0^x 0 ds + e^{-x^2} * 1 - e^{-0^2} * 0 = x e^{-x^2}。
公式：f'(x) = ∫_{φ(x)}^{ψ(x)} ∂f/∂x ds + f(x,ψ(x))ψ'(x) - f(x,φ(x))φ'(x)
提示：注意被积函数e^{-s^2}对x的偏导为0，因为不含x。
步骤 3/3
目标：利用初始条件积分求f(x)
由f(0)=0，积分得f(x)=∫_0^x t e^{-t^2} dt。令u=t^2，则du=2t dt，积分得(1/2)∫_0^{x^2} e^{-u} du = (1/2)(1 - e^{-x^2})。
公式：∫_0^x t e^{-t^2} dt = 1/2 - 1/2 e^{-x^2}
提示：使用换元法简化积分。

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