方企勤 第五章 多元函数微分学 第3题
📝 题目
证 (1) 因 $\left| \frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\right| \leq \frac{1}{1 + {x}^{2}}$ ,及 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} < + \infty}$ ,所以积分在 $\displaystyle{- \infty < t < + \infty}$ 上一致收敛.
(2)因 $\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}$ 在 $x \geq 1,\left| t\right| \leq R$ 上连续,由连续性定理知, $f\left( t\right)$ 在 $\left| t\right| \leq R$ 上连续,再由 $R$ 的任意性,有 $f\left( t\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ .
(3)由积分一致收敛性, $\forall \varepsilon > 0,\exists A,\forall t$ ,有
$$ \left| {{\int }_{A}^{+\infty }\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| < \varepsilon . \tag{6.1} $$
再由黎曼引理①知
$$ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{\int }_{1}^{A}\frac{1}{1 + {x}^{2}}\cos {xt}\mathrm{\;d}x = 0, $$
所以 $\exists T > 0$ ,当 $\left| t\right| > T$ 时,有
$$ \left| {{\int }_{1}^{A}\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| < \varepsilon \tag{6.2} $$
结合 (6.1) 与 (6.2) 式得到当 $\left| t\right| > T$ 时,有
$$ \left| {{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| < {2\varepsilon }, $$
即
$$ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}f\left( t\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = 0. $$
(4)要得结论,只需证 $f\left( \pi \right) \leq 0$ ,或证 $\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }f\left( t\right) \mathrm{d}t \leq 0$ ,或证
$$ {\int }_{0}^{\pi }\sin t \cdot f\left( t\right) \mathrm{d}t \leq 0. $$
我们来证最后一个不等式.
因函数 $\frac{\sin \left( t\right) \cos \left( {xt}\right) }{1 + {x}^{2}}$ 在 $x \geq 1,0 \leq t \leq \pi$ 上连续,积分
$$ {\int }_{1}^{\infty }\frac{\sin \left( t\right) \cos \left( {xt}\right) }{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
对 $t$ 一致收敛,所以可以交换求积次序,得
$$ {\int }_{0}^{\pi }\sin t \cdot f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{1}^{\infty }{\int }_{0}^{\pi }\frac{\cos \left( {xt}\right) \sin \left( t\right) }{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{1}^{\infty }{\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( {x + 1}\right) t - \sin \left( {x - 1}\right) t}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{1}^{\infty }\frac{1 + \cos {\pi x}}{1 - {x}^{4}}\mathrm{\;d}x \leq 0. $$
注意负值函数 $\frac{1 + \cos {\pi x}}{1 - {x}^{4}}$ 在 $x = 1$ 点只要补充定义后即连续.
应用定积分第一中值定理, 得
$$ {\int }_{0}^{\pi }\sin f\left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( \xi \right) {\int }_{0}^{\pi }\sin t\mathrm{\;d}t = {2f}\left( \xi \right) \leq 0.\;\left( {0 \leq \xi \leq \pi }\right) . $$
若 $f\left( \xi \right) = 0$ ,命题得证. 若 $f\left( \xi \right) < 0$ ,由 $f\left( 0\right) = {\int }_{1}^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \frac{\pi }{4} > 0$ 及连续函数的介值定理,知存在 $\eta \left( {0 \leq \eta \leq \xi }\right)$ ,使 $f\left( \eta \right) = 0$ . 命题得证.
💡 答案解析
证 (1) 因 $\left| \frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\right| \leq \frac{1}{1 + {x}^{2}}$ ,及 $\displaystyle{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} < + \infty}$ ,所以积分在 $\displaystyle{- \infty < t < + \infty}$ 上一致收敛.
(2)因 $\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}$ 在 $x \geq 1,\left| t\right| \leq R$ 上连续,由连续性定理知, $f\left( t\right)$ 在 $\left| t\right| \leq R$ 上连续,再由 $R$ 的任意性,有 $f\left( t\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ .
(3)由积分一致收敛性, $\forall \varepsilon > 0,\exists A,\forall t$ ,有
$$ \left| {{\int }_{A}^{+\infty }\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| < \varepsilon . \tag{6.1} $$
再由黎曼引理①知
$$ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{\int }_{1}^{A}\frac{1}{1 + {x}^{2}}\cos {xt}\mathrm{\;d}x = 0, $$
所以 $\exists T > 0$ ,当 $\left| t\right| > T$ 时,有
$$ \left| {{\int }_{1}^{A}\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| < \varepsilon \tag{6.2} $$
结合 (6.1) 与 (6.2) 式得到当 $\left| t\right| > T$ 时,有
$$ \left| {{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x}\right| < {2\varepsilon }, $$
即
$$ \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}f\left( t\right) = \mathop{\lim }\limits_{{t \rightarrow \infty }}{\int }_{1}^{+\infty }\frac{\cos {xt}}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x = 0. $$
(4)要得结论,只需证 $f\left( \pi \right) \leq 0$ ,或证 $\displaystyle{\int }_{0}^{\pi }f\left( t\right) \mathrm{d}t \leq 0$ ,或证
$$ {\int }_{0}^{\pi }\sin t \cdot f\left( t\right) \mathrm{d}t \leq 0. $$
我们来证最后一个不等式.
因函数 $\frac{\sin \left( t\right) \cos \left( {xt}\right) }{1 + {x}^{2}}$ 在 $x \geq 1,0 \leq t \leq \pi$ 上连续,积分
$$ {\int }_{1}^{\infty }\frac{\sin \left( t\right) \cos \left( {xt}\right) }{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}x $$
对 $t$ 一致收敛,所以可以交换求积次序,得
$$ {\int }_{0}^{\pi }\sin t \cdot f\left( t\right) \mathrm{d}t = {\int }_{1}^{\infty }{\int }_{0}^{\pi }\frac{\cos \left( {xt}\right) \sin \left( t\right) }{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x $$
$$ = \frac{1}{2}{\int }_{1}^{\infty }{\int }_{0}^{\pi }\frac{\sin \left( {x + 1}\right) t - \sin \left( {x - 1}\right) t}{1 + {x}^{2}}\mathrm{\;d}t\mathrm{\;d}x $$
$$ = {\int }_{1}^{\infty }\frac{1 + \cos {\pi x}}{1 - {x}^{4}}\mathrm{\;d}x \leq 0. $$
注意负值函数 $\frac{1 + \cos {\pi x}}{1 - {x}^{4}}$ 在 $x = 1$ 点只要补充定义后即连续.
应用定积分第一中值定理, 得
$$ {\int }_{0}^{\pi }\sin f\left( t\right) \mathrm{d}t = f\left( \xi \right) {\int }_{0}^{\pi }\sin t\mathrm{\;d}t = {2f}\left( \xi \right) \leq 0.\;\left( {0 \leq \xi \leq \pi }\right) . $$
若 $f\left( \xi \right) = 0$ ,命题得证. 若 $f\left( \xi \right) < 0$ ,由 $f\left( 0\right) = {\int }_{1}^{\infty }\frac{\mathrm{d}x}{1 + {x}^{2}} = \frac{\pi }{4} > 0$ 及连续函数的介值定理,知存在 $\eta \left( {0 \leq \eta \leq \xi }\right)$ ,使 $f\left( \eta \right) = 0$ . 命题得证.