方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5. 1.1 $\forall x,y \in {\mathbf{R}}^{m}$ . 证明: ${\left| x + y\right| }^{2} + {\left| x - y\right| }^{2} = 2\left( {{\left| x\right| }^{2} + {\left| y\right| }^{2}}\right)$ ,并说明等式的几何意义.
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：展开左边表达式
计算 |x+y|^2 + |x-y|^2，利用范数的平方等于内积：|x+y|^2 = (x+y)·(x+y) = |x|^2 + 2x·y + |y|^2，|x-y|^2 = (x-y)·(x-y) = |x|^2 - 2x·y + |y|^2。
公式：|x+y|^2 = |x|^2 + 2x·y + |y|^2，|x-y|^2 = |x|^2 - 2x·y + |y|^2
提示：注意内积的线性性质
步骤 2/3
目标：合并同类项
将两个展开式相加：|x+y|^2 + |x-y|^2 = (|x|^2 + 2x·y + |y|^2) + (|x|^2 - 2x·y + |y|^2) = 2|x|^2 + 2|y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2)。
公式：|x+y|^2 + |x-y|^2 = 2(|x|^2 + |y|^2)
提示：交叉项 2x·y 和 -2x·y 抵消
步骤 3/3
目标：说明几何意义
在平行四边形中，x 和 y 表示从同一点出发的两条邻边，则 x+y 和 x-y 分别表示两条对角线。该等式表明平行四边形两对角线的平方和等于四边平方和。
提示：几何意义：平行四边形对角线性质
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