方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.2 证明下列三个命题等价:
(1) $x \cdot y = 0$ ; (2) ${\left| x - y\right| }^{2} = {\left| x\right| }^{2} + {\left| y\right| }^{2}$ ；
(3) $\left| {x - y}\right| = \left| {x + y}\right|$ .
💡 答案解析
5. 1.1 平行四边形两对角线长度平方和等于四边长度平方之和.
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明 (1) ⇒ (2)
由 (1) x·y=0，计算 |x-y|^2 = (x-y)·(x-y) = x·x - 2x·y + y·y = |x|^2 + |y|^2，因为 x·y=0。
公式：|x-y|^2 = |x|^2 - 2x·y + |y|^2
提示：利用内积展开模的平方
步骤 2/3
目标：证明 (2) ⇒ (3)
由 (2) |x-y|^2 = |x|^2 + |y|^2，又 |x+y|^2 = |x|^2 + 2x·y + |y|^2。两式相减得 |x-y|^2 - |x+y|^2 = -4x·y。但由 (2) 知 |x-y|^2 = |x|^2+|y|^2，代入得 |x|^2+|y|^2 - |x+y|^2 = -4x·y。另一方面，|x+y|^2 = |x|^2+|y|^2+2x·y，所以 |x|^2+|y|^2 - (|x|^2+|y|^2+2x·y) = -2x·y，即 -2x·y = -4x·y，故 2x·y=0，即 x·y=0。于是 |x+y|^2 = |x|^2+|y|^2，所以 |x-y|^2 = |x+y|^2，开方得 |x-y| = |x+y|。
公式：|x+y|^2 = |x|^2 + 2x·y + |y|^2
提示：利用 (2) 推出 x·y=0，再代入
步骤 3/3
目标：证明 (3) ⇒ (1)
由 (3) |x-y| = |x+y|，两边平方得 |x-y|^2 = |x+y|^2，即 (x-y)·(x-y) = (x+y)·(x+y)，展开得 |x|^2 - 2x·y + |y|^2 = |x|^2 + 2x·y + |y|^2，化简得 -2x·y = 2x·y，所以 4x·y=0，即 x·y=0。
公式：|x-y|^2 = |x+y|^2 ⇒ x·y=0
提示：平方后消去相同项
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