方企勤 第六章 多元函数积分学 第3题
📝 题目
例 3 计算线积分
$$ I = {\oint }_{c}y\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}y + x\mathrm{\;d}z $$
其中 $C$ 为球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 与平面 $x + y + z = 0$ 的交线,从 ${Ox}$ 轴正向看去, $C$ 是依反时针方向进行的.
💡 答案解析
解 记 $S$ 是平面 $x + y + z = 0$ 被球面 ${x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = {a}^{2}$ 所截下的那部分, 取上侧, 即取平面的单位法向量
$$ \mathbf{n} = \left( {\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }\right) = \left( {1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}}\right) . $$
由斯托克斯公式得
$$ I = {\int }_{C}y\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}y + x\mathrm{\;d}z = {\iint }_{S}\mathrm{\;d}\left( {y\mathrm{\;d}x + z\mathrm{\;d}y + x\mathrm{\;d}z}\right) $$
$$ = - {\iint }_{S}\mathrm{\;d}y\mathrm{\;d}z + \mathrm{d}z\mathrm{\;d}x + \mathrm{d}x\mathrm{\;d}y $$
$$ = - {\iint }_{S}\left( {\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma }\right) \mathrm{d}S $$
$$ = - {\iint }_{S}\left( {\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}}\right) \mathrm{d}S = - \sqrt{3}\pi {a}^{2}. $$