方企勤 第六章 多元函数积分学 第4题
📝 题目
例 4 设 $u = u\left( {x,y}\right)$ ,令 $x = r\cos \theta ,y = r\sin \theta ,u = u(r\cos \theta$ , $r\sin \theta )$ . 再令 ${\mathbf{e}}_{r},{\mathbf{e}}_{\theta }$ 分别是 $M$ 点的径向与圆周方向的单位向量. 证明: 在 $M$ 点有
$$ \operatorname{grad}u = \frac{\partial u}{\partial r}{e}_{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }{e}_{\theta }. $$
💡 答案解析
证 由方向导数的计算公式和复合函数求导法则, 得
$$ \frac{\partial u}{\partial {e}_{r}} = \frac{\partial u}{\partial x}\cos \theta + \frac{\partial u}{\partial y}\sin \theta = \frac{\partial u}{\partial r}, $$
$$ \frac{\partial u}{\partial {e}_{\theta }} = \frac{\partial u}{\partial x}\left( {-\sin \theta }\right) + \frac{\partial u}{\partial y}\cos \theta = \frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }. $$
应用
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明梯度在极坐标下的表达式
首先，由方向导数的计算公式，沿径向单位向量 e_r 的方向导数为 ∂u/∂e_r = (∂u/∂x)cosθ + (∂u/∂y)sinθ。另一方面，利用复合函数求导法则，u 对 r 的偏导数为 ∂u/∂r = (∂u/∂x)(∂x/∂r) + (∂u/∂y)(∂y/∂r) = (∂u/∂x)cosθ + (∂u/∂y)sinθ。因此 ∂u/∂e_r = ∂u/∂r。
公式：∂u/∂e_r = ∂u/∂r
提示：注意 e_r 的方向与径向一致，其方向余弦为 (cosθ, sinθ)。
步骤 2/3
目标：证明沿圆周方向的方向导数与角度偏导的关系
沿圆周方向单位向量 e_θ 的方向导数为 ∂u/∂e_θ = (∂u/∂x)(-sinθ) + (∂u/∂y)cosθ。另一方面，u 对 θ 的偏导数为 ∂u/∂θ = (∂u/∂x)(-r sinθ) + (∂u/∂y)(r cosθ) = r[ (∂u/∂x)(-sinθ) + (∂u/∂y)cosθ ]。因此 (1/r)∂u/∂θ = (∂u/∂x)(-sinθ) + (∂u/∂y)cosθ = ∂u/∂e_θ。
公式：∂u/∂e_θ = (1/r) ∂u/∂θ
提示：注意 e_θ 的方向与圆周相切，方向余弦为 (-sinθ, cosθ)。
步骤 3/3
目标：综合得到梯度表达式
梯度 grad u 在正交坐标系 (e_r, e_θ) 下的分量等于沿各坐标方向的方向导数，因此 grad u = (∂u/∂e_r) e_r + (∂u/∂e_θ) e_θ = (∂u/∂r) e_r + (1/r)(∂u/∂θ) e_θ。
公式：grad u = (∂u/∂r) e_r + (1/r)(∂u/∂θ) e_θ
提示：该公式是梯度在极坐标下的标准形式，注意因子 1/r。
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