方企勤 第七章 典型综合题分析 第15题

教材习题

📝 题目

例 15 设 ${f}^{\prime \prime }\left( x\right) \geq 0\left( {-\infty < x < + \infty }\right) ,u\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ . 求证: 对 $\forall a > 0$ ,有

$$ \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}f\left\lbrack {u\left( x\right) }\right\rbrack \mathrm{d}x \geq f\left( {\frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}u\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) . $$

💡 答案解析

证 令 $A = \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}u\left( x\right) \mathrm{d}x$ . 根据 $f\left( x\right)$ 的凹性,有

$$ f\left( t\right) \geq {f}^{\prime }\left( A\right) \left( {t - A}\right) + f\left( A\right) \;\left( {\forall t \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right) . $$

代入 $t = u\left( x\right)$ ,并对 $x$ 从 0 到 $a$ 积分,得

$$ \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}f\left( {u\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x \geq {f}^{\prime }\left( A\right) \left( {\frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}u\left( x\right) \mathrm{d}x - A}\right) + f\left( A\right) = f\left( A\right) , $$

即

$$ \frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}f\left( {u\left( x\right) }\right) \mathrm{d}x \geq f\left( {\frac{1}{a}{\int }_{0}^{a}u\left( x\right) \mathrm{d}x}\right) . $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：引入平均值A
令 A = (1/a) ∫_0^a u(x) dx，即 u(x) 在 [0,a] 上的平均值。
公式：A = \frac{1}{a} \int_0^a u(x) dx
提示：A 是一个常数，便于后续利用凸函数性质。
步骤 2/4
目标：利用凸函数性质得到不等式
由于 f''(x) ≥ 0，f 是凸函数。凸函数满足：对任意 t，有 f(t) ≥ f'(A)(t - A) + f(A)。这里 f'(A) 是 f 在 A 处的导数。
公式：f(t) ≥ f'(A)(t - A) + f(A), ∀t
提示：凸函数的切线在函数下方，这是凸函数的几何性质。
步骤 3/4
目标：代入 t = u(x) 并积分
将 t = u(x) 代入不等式，得到 f(u(x)) ≥ f'(A)(u(x) - A) + f(A)。两边对 x 从 0 到 a 积分，再除以 a。
公式：\frac{1}{a} \int_0^a f(u(x)) dx ≥ \frac{1}{a} \int_0^a [f'(A)(u(x)-A) + f(A)] dx
提示：积分时注意 f'(A) 和 f(A) 是常数，可以提到积分号外。
步骤 4/4
目标：化简积分结果
计算右边：f'(A) * ( (1/a)∫_0^a u(x) dx - A ) + f(A) = f'(A)(A - A) + f(A) = f(A)。因此左边 ≥ f(A)。
公式：\frac{1}{a} \int_0^a f(u(x)) dx ≥ f(A) = f\left( \frac{1}{a} \int_0^a u(x) dx \right)
提示：注意 A 的定义，使得中间项为零。

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