方企勤 第一章 分析基础 第1.1题
📝 题目
1.1.2 求证: 对 $\forall a,b \in \mathbf{R}$ ,有 $\displaystyle{\max \{ \left| {a + b}\right| ,\left| {a - b}\right| ,\left| {1 - b}\right| \} \geq \frac{1}{2}}$ .
💡 答案解析
1. 1.1 将 $a$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {a + b + a - b}\right)$ ; 将 $b$ 改写成 $\frac{1}{2}\left( {b + a + b - a}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：改写a和b
将a改写为(a+b + a-b)/2，将b改写为(b+a + b-a)/2。
公式：a = (a+b + a-b)/2, b = (b+a + b-a)/2
提示：利用恒等变形，将a和b表示为和与差的线性组合。
步骤 2/6
目标：应用绝对值不等式
由绝对值不等式，有|a| ≤ (|a+b| + |a-b|)/2，|b| ≤ (|b+a| + |b-a|)/2。
公式：|a| ≤ (|a+b| + |a-b|)/2, |b| ≤ (|a+b| + |a-b|)/2
提示：注意|b-a| = |a-b|。
步骤 3/6
目标：考虑|1-b|
由三角不等式，|1-b| ≥ |1| - |b| = 1 - |b|。
公式：|1-b| ≥ 1 - |b|
提示：注意|1-b| ≥ |1| - |b|，但需要小心符号，实际上|1-b| ≥ |1| - |b|成立。
步骤 4/6
目标：分类讨论
分两种情况：若|b| ≥ 1/2，则|1-b| ≥ 1 - |b| ≤ 1/2？实际上需要重新分析。正确思路：假设三个绝对值都小于1/2，推出矛盾。
提示：反证法：假设max < 1/2，则每个绝对值小于1/2。
步骤 5/6
目标：反证法推导矛盾
假设|a+b| < 1/2, |a-b| < 1/2, |1-b| < 1/2。由前两个得|a| < 1/2，|b| < 1/2。再由|1-b| < 1/2得1/2 < b < 3/2，与|b| < 1/2矛盾。
提示：注意|1-b| < 1/2推出b ∈ (1/2, 3/2)，与|b| < 1/2矛盾。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，原命题得证。
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