📝 题目
1.1.5 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
$$ \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} ; $$
$$ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
$$ \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . $$
📋 详细解题步骤
目标：证明第一个不等式：inf f + inf g ≤ inf (f+g)
对任意 x ∈ X，有 inf f ≤ f(x) 且 inf g ≤ g(x)，相加得 inf f + inf g ≤ f(x) + g(x)。因此 inf f + inf g 是集合 {f(x)+g(x)} 的下界，故 inf f + inf g ≤ inf (f+g)。
公式：inf f ≤ f(x), inf g ≤ g(x) ⇒ inf f + inf g ≤ f(x)+g(x) ⇒ inf f + inf g ≤ inf (f+g)
提示：利用下确界的定义：下确界是最大下界。
目标：证明第二个不等式：inf (f+g) ≤ inf f + sup g
对任意 x ∈ X，有 f(x) ≥ inf f，g(x) ≤ sup g，相加得 f(x)+g(x) ≥ inf f + g(x) ≥ inf f + inf g? 注意：这里需要反向。正确思路：由 inf (f+g) ≤ f(x)+g(x) 对任意 x 成立，特别取 x 使得 g(x) 接近 sup g，但更简单：inf (f+g) ≤ f(x)+g(x) ≤ f(x)+sup g，对任意 x 成立，故 inf (f+g) ≤ inf (f+sup g) = inf f + sup g。
公式：inf (f+g) ≤ f(x)+g(x) ≤ f(x)+sup g ⇒ inf (f+g) ≤ inf (f+sup g) = inf f + sup g
提示：注意 inf (f+常数) = inf f + 常数。
目标：证明第三个不等式：sup f + inf g ≤ sup (f+g)
对任意 x ∈ X，有 f(x) ≤ sup f，g(x) ≥ inf g，相加得 f(x)+g(x) ≥ inf g + f(x) ≥ inf g + inf f? 正确：由 sup (f+g) ≥ f(x)+g(x) ≥ f(x)+inf g，对任意 x 成立，故 sup (f+g) ≥ sup (f+inf g) = sup f + inf g。
公式：sup (f+g) ≥ f(x)+g(x) ≥ f(x)+inf g ⇒ sup (f+g) ≥ sup (f+inf g) = sup f + inf g
提示：利用上确界的定义。
目标：证明第四个不等式：sup (f+g) ≤ sup f + sup g
对任意 x ∈ X，有 f(x) ≤ sup f，g(x) ≤ sup g，相加得 f(x)+g(x) ≤ sup f + sup g。因此 sup f + sup g 是集合 {f(x)+g(x)} 的上界，故 sup (f+g) ≤ sup f + sup g。
公式：f(x) ≤ sup f, g(x) ≤ sup g ⇒ f(x)+g(x) ≤ sup f+sup g ⇒ sup (f+g) ≤ sup f+sup g
提示：利用上确界的定义。