方企勤 第一章 分析基础 第1.2题
📝 题目
1.2.4 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义,且 $f\left( {f\left( x\right) }\right) \equiv x$ .
(1)问这种函数有几个?
(2)若 $f\left( x\right)$ 为单调增加函数,问这种函数有几个?
💡 答案解析
1.2.4 (1) 无穷多个；(2)有且仅有一个,即 $f\left( x\right) \equiv x$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析条件 f(f(x)) ≡ x 的含义
条件 f(f(x)) ≡ x 表示 f 是一个对合函数，即 f 是自身的逆函数。这意味着 f 是双射，且对于任意 x，有 f(f(x)) = x。
公式：f(f(x)) = x
提示：对合函数是满足 f(f(x)) = x 的函数，常见例子有 f(x) = x, f(x) = -x, f(x) = 1/x 等。
步骤 2/5
目标：判断(1)中函数的个数
由于对合函数可以构造无穷多种，例如对于任意实数 a，定义 f(x) = a - x，则 f(f(x)) = a - (a - x) = x。此外，还可以分段定义，只要满足 f(f(x)) = x 即可。因此有无穷多个。
提示：构造对合函数时，可以任意配对实数，使得每对互为像。
步骤 3/5
目标：分析(2)中单调增加的条件
假设 f 是单调增加函数，且满足 f(f(x)) = x。首先证明 f 是严格单调增加的。若 x1 < x2，则 f(x1) ≤ f(x2)。若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = f(f(x1)) = f(f(x2)) = x2，矛盾，故 f(x1) < f(x2)。因此 f 严格单调增加。
提示：单调增加函数不一定严格，但由对合性质可推出严格。
步骤 4/5
目标：证明 f(x) ≡ x
反证法：假设存在 x0 使得 f(x0) ≠ x0。若 f(x0) > x0，则由单调增加得 f(f(x0)) > f(x0)，但 f(f(x0)) = x0，故 x0 > f(x0)，矛盾。若 f(x0) < x0，则 f(f(x0)) < f(x0)，即 x0 < f(x0)，矛盾。因此 f(x0) = x0 对所有 x0 成立，即 f(x) = x。
提示：利用单调性和对合性质，通过反证法得到唯一解。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，单调增加的对合函数只有恒等函数 f(x) = x，有且仅有一个。
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