方企勤 第一章 分析基础 第1.3题
📝 题目
1.3.2 $\displaystyle{x}_{n + 1} = 1 - \sqrt{1 - {x}_{n}}\overset{\text{ 写成 }}{ = }\frac{{x}_{n}}{1 + \sqrt{1 - {x}_{n}}} \Rightarrow 0 < {x}_{n} \downarrow \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 0}$ ,
$\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{1}{2}.}$
💡 答案解析
1.3.2 $\displaystyle{x}_{n + 1} = 1 - \sqrt{1 - {x}_{n}}\overset{\text{ 写成 }}{ = }\frac{{x}_{n}}{1 + \sqrt{1 - {x}_{n}}} \Rightarrow 0 < {x}_{n} \downarrow \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 0}$ ,
$\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{1}{2}.}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明递推关系等价形式
将 x_{n+1} = 1 - sqrt(1 - x_n) 有理化：分子分母同乘 1 + sqrt(1 - x_n)，得到 x_{n+1} = x_n / (1 + sqrt(1 - x_n))。
公式：x_{n+1} = \frac{x_n}{1 + \sqrt{1 - x_n}}
提示：有理化是处理根号差的标准技巧。
步骤 2/4
目标：证明数列单调递减且有下界
由 x_{n+1} = x_n / (1 + sqrt(1 - x_n))，因为分母大于1，所以 0 < x_{n+1} < x_n，故数列严格递减且下界为0。
公式：0 < x_{n+1} < x_n
提示：注意 x_n 为正，否则需先证明正性。
步骤 3/4
目标：求极限
单调递减有下界，故极限存在，设极限为 L。对递推式两边取极限：L = 1 - sqrt(1 - L)，解得 L=0 或 L=1（舍去，因为递减且 x1<1）。所以极限为0。
公式：L = 1 - \sqrt{1 - L} \Rightarrow L=0
提示：注意验证极限值在定义域内。
步骤 4/4
目标：计算比值极限
利用等价形式：x_{n+1}/x_n = 1/(1 + sqrt(1 - x_n))。当 n→∞ 时，x_n→0，故 sqrt(1 - x_n)→1，所以极限为 1/(1+1)=1/2。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1}{2}
提示：直接代入极限值即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。