方企勤 第一章 分析基础 第1.3题
📝 题目
1.3.3 设 $c > 1$ ,求序列 $\sqrt{c},\sqrt{c\sqrt{c}},\sqrt{c\sqrt{c\sqrt{c}}},\cdots$ 的极限.
💡 答案解析
1.3.3 对给定的 $\displaystyle{c > 1,{x}_{n + 1} = \sqrt{c{x}_{n}} \Rightarrow {x}_{n} \uparrow ,0 < {x}_{n} < c \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = c}$ 或
$$ \frac{{x}_{n + 1}}{c} = \sqrt{\frac{{x}_{n}}{c}}\overset{{y}_{n} = \frac{{x}_{n}}{c}}{ = }{y}_{n + 1} = \sqrt{{y}_{n}} $$
$$ \Rightarrow {y}_{n} = {\left( {y}_{n - 1}\right) }^{\frac{1}{2}} = \cdots = {\left( {y}_{1}\right) }^{\frac{1}{{2}^{n - 1}}} \rightarrow 1 \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = c. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立递推关系
设序列为 {x_n}，其中 x_1 = √c，且 x_{n+1} = √(c x_n)。
公式：x_{n+1} = \sqrt{c x_n}
提示：注意初始项 x_1 = √c。
步骤 2/4
目标：证明序列单调递增且有上界
首先证明 x_n 单调递增：由 x_1 = √c > 0，假设 x_n < x_{n+1}，则 x_{n+1} = √(c x_n) < √(c x_{n+1}) = x_{n+2}，故由归纳法知 x_n 递增。其次证明 x_n < c：x_1 = √c < c，假设 x_n < c，则 x_{n+1} = √(c x_n) < √(c·c) = c，故由归纳法知 x_n < c。因此序列单调有界，极限存在。
公式：x_n \uparrow, \ 0 < x_n < c
提示：单调有界定理是证明极限存在的常用方法。
步骤 3/4
目标：求极限
设极限为 L，则对递推式两边取极限得 L = √(c L)，解得 L = 0 或 L = c。由于 x_n > 0 且递增，故 L > 0，所以 L = c。
公式：L = \sqrt{c L} \Rightarrow L = c
提示：注意舍去 L=0 的解。
步骤 4/4
目标：另一种解法：变量替换
令 y_n = x_n / c，则递推式化为 y_{n+1} = √(y_n)，且 y_1 = √c / c = 1/√c。于是 y_n = (y_1)^{1/2^{n-1}} → 1，故 x_n = c y_n → c。
公式：y_{n+1} = \sqrt{y_n}, \ y_n = (y_1)^{1/2^{n-1}}
提示：变量替换可简化问题。
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