方企勤 第一章 分析基础 第1.3题
📝 题目
1.3.4 设 $A > 0,{x}_{1} > 0,{x}_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n} + \frac{A}{{x}_{n}}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ .
(1)求证: ${x}_{n}$ 单调下降且有下界；
(2) 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
💡 答案解析
1.3.4 (2) $\sqrt{A}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：证明数列单调下降且有下界
首先，由算术-几何平均不等式，对于任意正数x_n和A/x_n，有x_{n+1} = (1/2)(x_n + A/x_n) ≥ √(x_n * (A/x_n)) = √A，所以数列有下界√A。其次，考虑x_{n+1} - x_n = (1/2)(x_n + A/x_n) - x_n = (1/2)(A/x_n - x_n) = (A - x_n^2)/(2x_n)。由于x_n ≥ √A，故A - x_n^2 ≤ 0，因此x_{n+1} - x_n ≤ 0，即数列单调递减。综上，数列单调下降且有下界。
公式：x_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{A}{x_n}\right), \quad x_{n+1} \ge \sqrt{A}, \quad x_{n+1} - x_n = \frac{A - x_n^2}{2x_n}
提示：利用算术-几何平均不等式得到下界，通过作差判断单调性。
步骤 2/2
目标：求极限
由(1)知数列单调有界，故极限存在，设极限为L。对递推式两边取极限，得L = (1/2)(L + A/L)。解方程：2L = L + A/L ⇒ L = A/L ⇒ L^2 = A ⇒ L = √A（因为L > 0）。所以极限为√A。
公式：L = \frac{1}{2}\left(L + \frac{A}{L}\right) \Rightarrow L^2 = A \Rightarrow L = \sqrt{A}
提示：利用极限的唯一性，对递推式取极限得到关于L的方程。
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