方企勤 第一章 分析基础 第1.3题
📝 题目
1.3.5 设 ${F}_{0} = {F}_{1} = 1,{F}_{n + 1} = {F}_{n} + {F}_{n - 1}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{F}_{n - 1}}{{F}_{n}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ .
💡 答案解析
1.3.5 ${x}_{n}\overset{\text{ 定义 }}{ \approx }\frac{{F}_{n - 1}}{{F}_{n}} \Rightarrow {x}_{n + 1} = \frac{{F}_{n}}{{F}_{n + 1}} = \frac{{F}_{n}}{{F}_{n} + {F}_{n - 1}} = \frac{1}{1 + \frac{{F}_{n - 1}}{{F}_{n}}} = \frac{1}{1 + {x}_{n}}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：定义数列并推导递推关系
令 x_n = F_{n-1}/F_n，则 x_{n+1} = F_n/F_{n+1}。利用斐波那契数列递推式 F_{n+1}=F_n+F_{n-1}，代入得 x_{n+1}=F_n/(F_n+F_{n-1})=1/(1+F_{n-1}/F_n)=1/(1+x_n)。
公式：x_{n+1} = \frac{1}{1+x_n}
提示：注意下标转换，将 F_{n+1} 用 F_n 和 F_{n-1} 表示。
步骤 2/3
目标：证明数列收敛
计算 x_1=F_0/F_1=1，x_2=F_1/F_2=1/2，x_3=F_2/F_3=2/3，x_4=3/5，x_5=5/8，... 观察发现数列在0.5到1之间振荡。考虑两个子列：奇数项递增，偶数项递减，且均单调有界，故极限存在。或者利用压缩映射原理：函数 f(x)=1/(1+x) 在区间 [1/2,1] 上是压缩的。
提示：可以证明数列有界且单调，或者直接利用不动点定理。
步骤 3/3
目标：求极限
设极限为 L，则对递推式两边取极限得 L=1/(1+L)，即 L^2+L-1=0。解二次方程得 L=(-1±√5)/2，由于 L>0，故 L=(√5-1)/2。
公式：L = \frac{1}{1+L} \Rightarrow L^2+L-1=0 \Rightarrow L=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
提示：注意舍去负根。
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