方企勤 第一章 分析基础 第1.3题
📝 题目
1.3.6 求证:
(1) $\frac{1}{2\sqrt{n + 1}} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$ ;
(2)序列 ${x}_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n}$ 的极限存在.
💡 答案解析
1.3.6 (1) 将 $\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}$ 改写成 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ .
(2) 用第 (1) 小题,
$$ {x}_{n + 1} - {x}_{n} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}} - 2\left( {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\right) < 0 \Rightarrow {x}_{n} \downarrow , $$
以及
$$ {x}_{n} > \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}2\left( {\sqrt{k + 1} - \sqrt{k}}\right) - 2\sqrt{n} $$
$$ = 2\left( {\sqrt{n + 1} - 1}\right) - 2\sqrt{n} > - 2\text{ . } $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明不等式 (1)
将 √(n+1) - √n 有理化，得到 1/(√(n+1) + √n)。由于 √(n+1) > √n，所以分母满足 2√n < √(n+1) + √n < 2√(n+1)，取倒数即得不等式。
公式：√(n+1) - √n = 1/(√(n+1) + √n)
提示：有理化是处理根式差的标准方法。
步骤 2/4
目标：证明序列 {x_n} 单调递减
计算 x_{n+1} - x_n = 1/√(n+1) - 2(√(n+1) - √n)。由 (1) 知 √(n+1) - √n > 1/(2√(n+1))，代入得 x_{n+1} - x_n < 0，故序列单调递减。
公式：x_{n+1} - x_n = 1/√(n+1) - 2(√(n+1) - √n)
提示：利用不等式 (1) 的下界证明差为负。
步骤 3/4
目标：证明序列 {x_n} 有下界
由 (1) 得 1/√k > 2(√(k+1) - √k)，求和得 x_n > 2∑_{k=1}^n (√(k+1) - √k) - 2√n = 2(√(n+1) - 1) - 2√n > -2。因此 x_n 有下界 -2。
公式：x_n > 2(√(n+1) - 1) - 2√n > -2
提示：利用不等式 (1) 的上界放缩求和。
步骤 4/4
目标：由单调有界准则得极限存在
序列 {x_n} 单调递减且有下界，故极限存在。
提示：单调有界准则是判断极限存在的常用方法。
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