方企勤 第一章 分析基础 第1.3题

教材习题

📝 题目

1.3.8 求证: 如下序列的极限存在:

$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {1 + \frac{1}{{2}^{2}}}\right) \left( {1 + \frac{1}{{3}^{2}}}\right) \cdots \left( {1 + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) . $$

💡 答案解析

1.3.8 ${\left( 1 + \frac{1}{{k}^{2}}\right) }^{{k}^{2}} < \mathrm{e}\overset{\text{ 两边取对数 }}{ = }{k}^{2}\ln \left( {1 + \frac{1}{{k}^{2}}}\right) < 1 \Rightarrow 1 + \frac{1}{{k}^{2}} < {\mathrm{e}}^{\frac{1}{{k}^{2}}}$

$$ \Rightarrow \mathop{\prod }\limits_{{k = 2}}^{n}\left( {1 + \frac{1}{{k}^{2}}}\right) < {\mathrm{e}}^{\mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{n}\frac{1}{{k}^{2}}}. $$

再注意到

$$ \frac{1}{{k}^{2}} < \frac{1}{k\left( {k - 1}\right) }\left( {k \geq 2}\right) \Rightarrow \mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{n}\frac{1}{{k}^{2}} < \mathop{\sum }\limits_{{k = 2}}^{n}\left( {\frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}}\right) $$

$$ = 1 - \frac{1}{n} < 1\left( {n > 2}\right) , $$

故有

$$ \mathop{\prod }\limits_{{k = 2}}^{n}\left( {1 + \frac{1}{{k}^{2}}}\right) < \mathrm{e} $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：证明序列单调递增且有上界
首先，注意到序列的每一项都是正数，且随着n增大，乘积项数增加，因此序列单调递增。接下来证明有上界。利用不等式：对于任意正数x，有1+x < e^x。令x=1/k^2，得到1+1/k^2 < e^{1/k^2}。
公式：1 + \frac{1}{k^2} < e^{\frac{1}{k^2}}
提示：该不等式可由e^x的泰勒展开或常见不等式得到。
步骤 2/4
目标：将乘积放缩为指数和的形式
对k从2到n，将每个因子放缩为e^{1/k^2}，则乘积小于e^{∑_{k=2}^n 1/k^2}。
公式：\prod_{k=2}^n \left(1+\frac{1}{k^2}\right) < e^{\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2}}
提示：注意乘积的指数相加。
步骤 3/4
目标：估计∑_{k=2}^n 1/k^2的上界
利用不等式1/k^2 < 1/(k(k-1)) = 1/(k-1) - 1/k（k≥2），对k从2到n求和，得到∑_{k=2}^n 1/k^2 < 1 - 1/n < 1。
公式：\sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < 1 - \frac{1}{n} < 1
提示：裂项相消是关键。
步骤 4/4
目标：得出乘积的上界
结合以上两步，得到乘积小于e^1 = e，因此序列有上界e。由于序列单调递增且有上界，故极限存在。
公式：\prod_{k=2}^n \left(1+\frac{1}{k^2}\right) < e
提示：单调有界定理是极限存在的充分条件。

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