方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2. 3.1 求证:
(1)当 $x \geq 0$ 时, $f\left( x\right) = \frac{x}{1 + x}$ 单调增加；
(2) $\frac{\left| a + b\right| }{1 + \left| {a + b}\right| } \leq \frac{\left| a\right| }{1 + \left| a\right| } + \frac{\left| b\right| }{1 + \left| b\right| }$ .
💡 答案解析
2. 3.1 (2) 用第 (1) 小题结论.
$$ \frac{\left| a + b\right| }{1 + \left| {a + b}\right| } \leq \frac{\left| a\right| + \left| b\right| }{1 + \left| a\right| + \left| b\right| } \leq \frac{\left| a\right| }{1 + \left| a\right| } + \frac{\left| b\right| }{1 + \left| b\right| }. $$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明函数 f(x)=x/(1+x) 在 x≥0 时单调增加
对 f(x) 求导得 f'(x)=1/(1+x)^2 > 0 对于 x≥0，因此 f(x) 单调增加。
公式：f'(x) = \frac{1}{(1+x)^2}
提示：导数大于0说明函数严格单调递增。
步骤 2/3
目标：利用单调性证明不等式
由绝对值不等式 |a+b| ≤ |a|+|b|，且 f(x) 单调增加，得 f(|a+b|) ≤ f(|a|+|b|)，即 \frac{|a+b|}{1+|a+b|} ≤ \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}。
公式：\frac{|a+b|}{1+|a+b|} \leq \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}
提示：注意 f(x) 在 x≥0 单调增，所以自变量大的函数值大。
步骤 3/3
目标：将右边拆分为两项之和
由于 \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} = \frac{|a|}{1+|a|+|b|} + \frac{|b|}{1+|a|+|b|} ≤ \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|}，因为分母更大时分数值更小。
公式：\frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} \leq \frac{|a|}{1+|a|} + \frac{|b|}{1+|b|}
提示：利用 \frac{x}{1+x} 的单调性，或者直接放缩：分母变大，分数变小。
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