方企勤 第二章 一元函数微分学 第2.3题
📝 题目
2.3.12 给定曲线 $y = \frac{1}{\sqrt{x}}\left( {x > 0}\right)$ .
(1) 求过点 $\left( {{x}_{0},\frac{1}{\sqrt{{x}_{0}}}}\right)$ 的切线;
(2)在曲线上求一个点,使曲线在该点处的切线在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距之和最小.
💡 答案解析
2.3.12 (1) $2\sqrt{{x}_{0}}y + \frac{1}{{x}_{0}}x = 3$ .
(2)当 ${x}_{0} = \frac{1}{4}\sqrt[3]{4}$ 时,达到最小值 $\frac{9}{4}\sqrt[3]{4}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求曲线在点(x0, 1/√x0)处的切线方程
首先求导数。由y = x^{-1/2}，得y' = -1/2 x^{-3/2}。在点x0处，斜率为k = -1/2 x0^{-3/2}。切线方程为y - 1/√x0 = -1/(2 x0^{3/2}) (x - x0)。整理得：2√x0 y + x/x0 = 3。
公式：y' = -1/(2 x^{3/2})，切线方程：y - y0 = y'(x0)(x - x0)
提示：注意幂函数求导公式，以及切线方程的化简。
步骤 2/3
目标：求切线在x轴和y轴上的截距
由切线方程2√x0 y + x/x0 = 3，令y=0得x截距为3x0；令x=0得y截距为3/(2√x0)。
公式：截距：x截距=3x0，y截距=3/(2√x0)
提示：截距是坐标轴上的交点坐标，注意正负。
步骤 3/3
目标：建立截距之和函数并求最小值
截距之和S = 3x0 + 3/(2√x0)。令t = √x0 > 0，则S = 3t^2 + 3/(2t)。求导S' = 6t - 3/(2t^2)，令S'=0得6t = 3/(2t^2) => 12t^3 = 3 => t^3 = 1/4 => t = (1/4)^{1/3} = 1/∛4。故x0 = t^2 = (1/4)^{2/3} = 1/4^{2/3} = 1/∛16 = 1/(2∛2)？实际上x0 = (1/4)^{2/3} = 1/4^{2/3} = 1/∛16 = 1/(2∛2)？但答案给出x0 = (1/4)∛4，注意：∛4 = 4^{1/3}，所以(1/4)∛4 = 4^{-1} * 4^{1/3} = 4^{-2/3} = 1/4^{2/3}，一致。此时S_min = 3*(1/4^{2/3}) + 3/(2*(1/4^{1/3})) = 3/4^{2/3} + (3/2)*4^{1/3} = 3*4^{-2/3} + (3/2)*4^{1/3} = 3*4^{-2/3} + (3/2)*4^{1/3}。通分：= (3/4^{2/3}) + (3*4^{1/3}/2) = (3*2 + 3*4^{1/3}*4^{2/3})/(2*4^{2/3})? 更简单：令a=4^{1/3}，则S_min = 3/a^2 + (3/2)a = (6 + 3a^3)/(2a^2) = (6+3*4)/(2a^2)= (6+12)/(2a^2)=18/(2a^2)=9/a^2=9/4^{2/3}=9*4^{-2/3}。但答案给出9/4 * ∛4 = (9/4)*4^{1/3} = 9*4^{-2/3}? 因为(9/4)*4^{1/3}=9*4^{-1}*4^{1/3}=9*4^{-2/3}，一致。
公式：S = 3x0 + 3/(2√x0)，求导得极小值点
提示：注意换元简化计算，求导后解方程。
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