方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.4题
📝 题目
3.4.6 求锥体 $\sqrt{{x}^{2} + {y}^{2}} \leq z \leq h$ 的重心和绕 $z$ 轴的转动惯量(设锥体的密度为 1).
💡 答案解析
3.4.6 $\left( {0,0,\frac{3}{4}h}\right) ,\frac{\pi }{10}{h}^{5}$ . 3.4.7 ${18} \times {9.8}\mathrm{\;N}$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立坐标系并确定积分区域
采用柱坐标，锥体由不等式 √(x²+y²) ≤ z ≤ h 描述，即 z 从 r 到 h，r 从 0 到 h，θ 从 0 到 2π。密度为 1。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, dV = r dr dθ dz
提示：注意锥体顶点在原点，底面在 z=h，侧面为锥面 z=√(x²+y²)。
步骤 2/4
目标：计算锥体的质量 M
M = ∫∫∫ dV = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{h} dr ∫_{r}^{h} r dz = 2π ∫_{0}^{h} r (h - r) dr = 2π [h r²/2 - r³/3]_{0}^{h} = 2π (h³/2 - h³/3) = π h³/3。
公式：M = π h³/3
提示：积分顺序：先对 z，再对 r，最后对 θ。
步骤 3/4
目标：计算重心坐标 (x̄, ȳ, z̄)
由对称性，x̄ = ȳ = 0。计算 z̄ = (1/M) ∫∫∫ z dV。∫∫∫ z dV = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{h} dr ∫_{r}^{h} z r dz = 2π ∫_{0}^{h} r [z²/2]_{r}^{h} dr = π ∫_{0}^{h} r (h² - r²) dr = π [h² r²/2 - r⁴/4]_{0}^{h} = π (h⁴/2 - h⁴/4) = π h⁴/4。所以 z̄ = (π h⁴/4) / (π h³/3) = 3h/4。
公式：z̄ = 3h/4
提示：注意积分时 z 的上下限：从 r 到 h。
步骤 4/4
目标：计算绕 z 轴的转动惯量 I_z
I_z = ∫∫∫ (x²+y²) dV = ∫∫∫ r² dV = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{h} dr ∫_{r}^{h} r² * r dz = 2π ∫_{0}^{h} r³ (h - r) dr = 2π [h r⁴/4 - r⁵/5]_{0}^{h} = 2π (h⁵/4 - h⁵/5) = 2π (h⁵/20) = π h⁵/10。
公式：I_z = π h⁵/10
提示：转动惯量公式中 r² 是点到 z 轴距离平方，即 x²+y² = r²。
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