方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.4题
📝 题目
3.4.5 求半球 $0 \leq z \leq \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2} - {y}^{2}}$ 的重心.
💡 答案解析
3.4.5 半球重心 $\left( {0,0,\frac{3R}{8}}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：建立坐标系并确定对称性
由于半球关于z轴对称，重心位于z轴上，即x̄=0, ȳ=0。只需计算z̄。
提示：利用对称性简化问题。
步骤 2/9
目标：写出重心坐标公式
重心坐标公式：z̄ = (∫∫∫_Ω z dV) / (∫∫∫_Ω dV)，其中Ω为半球区域。
公式：z̄ = \frac{\iiint_\Omega z \, dV}{\iiint_\Omega dV}
提示：分子是静矩，分母是体积。
步骤 3/9
目标：计算半球体积
半球体积为球体积的一半：V = (2/3)πR³。
公式：V = \frac{2}{3}\pi R^3
提示：球体积公式V_球=4/3 πR³。
步骤 4/9
目标：计算静矩∫∫∫_Ω z dV
采用柱坐标：x=r cosθ, y=r sinθ, z=z，雅可比为r。积分区域：0≤θ≤2π, 0≤r≤R, 0≤z≤√(R²-r²)。静矩=∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{R} r dr ∫_{0}^{√(R²-r²)} z dz。
公式：\iiint_\Omega z \, dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r \, dr \int_0^{\sqrt{R^2-r^2}} z \, dz
提示：柱坐标下z的积分限由球面方程决定。
步骤 5/9
目标：计算内层积分
先对z积分：∫_{0}^{√(R²-r²)} z dz = (1/2)(R²-r²)。
公式：\int_0^{\sqrt{R^2-r^2}} z \, dz = \frac{1}{2}(R^2 - r^2)
步骤 6/9
目标：计算中间积分
对r积分：∫_{0}^{R} r * (1/2)(R²-r²) dr = (1/2)∫_{0}^{R} (R²r - r³) dr = (1/2)[(R²/2)r² - (1/4)r⁴]_{0}^{R} = (1/2)(R⁴/2 - R⁴/4) = (1/2)(R⁴/4) = R⁴/8。
公式：\int_0^R \frac{1}{2}r(R^2-r^2) \, dr = \frac{R^4}{8}
提示：注意积分上下限。
步骤 7/9
目标：计算最外层积分
对θ积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π。因此静矩 = 2π * (R⁴/8) = πR⁴/4。
公式：\iiint_\Omega z \, dV = 2\pi \cdot \frac{R^4}{8} = \frac{\pi R^4}{4}
步骤 8/9
目标：计算重心坐标z̄
z̄ = (πR⁴/4) / (2πR³/3) = (πR⁴/4) * (3/(2πR³)) = (3R)/8。
公式：\bar{z} = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}{8}
提示：化简时约去π和R³。
步骤 9/9
目标：得出重心坐标
重心坐标为(0, 0, 3R/8)。
提示：结合对称性，x̄=0, ȳ=0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。