方企勤 第三章 一元函数积分学 第3.4题
📝 题目
3.4.4 (1) 求半圆 $0 \leq y \leq \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}$ 的重心;
(2)求半圆周 $y = \sqrt{{R}^{2} - {x}^{2}}\left( {\left| x\right| \leq R}\right)$ 的重心.
💡 答案解析
3.4.4 (1) 半圆重心 $\left( {0,\frac{4R}{3\pi }}\right)$ ；(2)半圆周重心 $\left( {0,\frac{2R}{\pi }}\right)$ .
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：建立坐标系并确定对称性
以圆心为原点，x轴水平，y轴竖直建立坐标系。半圆区域为x从-R到R，y从0到√(R²-x²)。由于对称性，重心横坐标x̄=0。
提示：利用对称性简化计算。
步骤 2/10
目标：计算半圆面积
半圆面积A = (1/2)πR²。
公式：A = πR²/2
步骤 3/10
目标：计算半圆对x轴的静矩
静矩M_x = ∫∫_D y dA，其中D为半圆区域。采用极坐标：x=r cosθ, y=r sinθ, dA=r dr dθ，r从0到R，θ从0到π。则M_x = ∫_{θ=0}^{π} ∫_{r=0}^{R} (r sinθ) r dr dθ = ∫_{0}^{π} sinθ dθ ∫_{0}^{R} r² dr = [ -cosθ ]_{0}^{π} * [ r³/3 ]_{0}^{R} = (1+1) * (R³/3) = 2R³/3。
公式：M_x = ∫∫_D y dA
提示：注意极坐标变换中y = r sinθ。
步骤 4/10
目标：计算重心纵坐标
重心纵坐标ȳ = M_x / A = (2R³/3) / (πR²/2) = (2R³/3)*(2/(πR²)) = 4R/(3π)。
公式：ȳ = M_x / A
步骤 5/10
目标：得出半圆重心坐标
重心坐标为(0, 4R/(3π))。
步骤 6/10
目标：建立半圆周坐标系并确定对称性
半圆周为y=√(R²-x²)，x∈[-R,R]。由于对称性，重心横坐标x̄=0。
步骤 7/10
目标：计算半圆周长度
半圆周长度L = πR。
公式：L = πR
步骤 8/10
目标：计算半圆周对x轴的静矩
静矩M_x = ∫_C y ds，其中ds = √(1+(y')²) dx。由y=√(R²-x²)得y' = -x/√(R²-x²)，则ds = √(1+x²/(R²-x²)) dx = R/√(R²-x²) dx。所以M_x = ∫_{-R}^{R} √(R²-x²) * (R/√(R²-x²)) dx = ∫_{-R}^{R} R dx = 2R²。
公式：M_x = ∫_C y ds
提示：注意ds的简化。
步骤 9/10
目标：计算重心纵坐标
重心纵坐标ȳ = M_x / L = 2R² / (πR) = 2R/π。
公式：ȳ = M_x / L
步骤 10/10
目标：得出半圆周重心坐标
重心坐标为(0, 2R/π)。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。