方企勤 第四章 级 数 第4.1题

教材习题

📝 题目

4. 1.10 判断下列级数的收敛性:

(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( -1\right) }^{n}\frac{{\sin }^{2}n}{n}$ ; (2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{n} \cdot \frac{{a}^{n}}{1 + {a}^{n}}\left( {a > 0}\right)$ ;

(3) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin n \cdot \sin {n}^{2}}{n}}$ ; (4) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{\sin \left( {n + \frac{1}{n}}\right) }{n}$ .

💡 答案解析

4. 1.8 利用上题结论,设 ${a}_{n}\frac{\text{ 定义 }}{}\frac{n}{{p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n}}$ ,可证 ${a}_{2n} \leq \frac{2}{{p}_{n}}$ . 4.1.9 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛. 4.1.10 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛.

4.1.11 (1) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }\left| x\right| \neq 1\text{ 时绝对收敛 } \\ \text{ 当 }\left| x\right| = 1\text{ 时发散; } \end{array}\right.$ (2) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }x \geq 0\text{ 时绝对收敛, } \\ \text{ 当 }x < 0\text{ 时发散. } \end{array}\right.$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：判断级数(1)的收敛性
考虑级数 ∑ (-1)^n * (sin^2 n)/n。由于 sin^2 n 有界，且 1/n 单调递减趋于0，但 (-1)^n 导致交错。然而 sin^2 n 不单调，不能直接用莱布尼茨判别法。注意到 sin^2 n = (1-cos2n)/2，所以级数化为 ∑ (-1)^n/(2n) - ∑ (-1)^n cos2n/(2n)。第一项是交错调和级数，条件收敛；第二项由狄利克雷判别法（因为 ∑ (-1)^n cos2n 部分和有界，1/n 单调递减趋于0）收敛。因此原级数收敛。
公式：sin^2 n = (1-cos2n)/2
提示：利用三角恒等式将级数分解为两个收敛级数的和。
步骤 2/4
目标：判断级数(2)的收敛性
考虑级数 ∑ (-1)^(n-1)/n * a^n/(1+a^n)，a>0。当 a=1 时，级数为 ∑ (-1)^(n-1)/(2n)，交错调和级数，条件收敛。当 a≠1 时，令 b_n = a^n/(1+a^n)，则 b_n 单调（若 a>1，b_n 递增趋于1；若 0
公式：阿贝尔判别法
提示：分 a=1 和 a≠1 讨论，利用阿贝尔判别法。
步骤 3/4
目标：判断级数(3)的收敛性
考虑级数 ∑ (sin n * sin n^2)/n。利用积化和差：sin n sin n^2 = [cos(n^2-n) - cos(n^2+n)]/2。则级数化为 1/2 ∑ cos(n(n-1))/n - 1/2 ∑ cos(n(n+1))/n。每个级数可由狄利克雷判别法证明收敛（因为 cos 的部分和有界，1/n 单调递减趋于0）。故原级数收敛。
公式：sin A sin B = [cos(A-B)-cos(A+B)]/2
提示：积化和差后，每个级数满足狄利克雷判别法条件。
步骤 4/4
目标：判断级数(4)的收敛性
考虑级数 ∑ sin(n+1/n)/n。由于 sin(n+1/n) = sin n cos(1/n) + cos n sin(1/n)。当 n→∞ 时，cos(1/n)→1，sin(1/n)~1/n。所以 sin(n+1/n) = sin n + (cos n)/n + o(1/n)。则级数化为 ∑ sin n/n + ∑ cos n/n^2 + 高阶项。∑ sin n/n 由狄利克雷判别法收敛，∑ cos n/n^2 绝对收敛。故原级数收敛。
公式：sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ
提示：展开后利用已知收敛级数。

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