方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.11 讨论下列级数的收敛性:
(1) $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{1 + {x}^{2n}}}$ ; (2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{2}} \cdot {\mathrm{e}}^{-{nx}}$ .
💡 答案解析
4. 1.8 利用上题结论,设 ${a}_{n}\frac{\text{ 定义 }}{}\frac{n}{{p}_{1} + {p}_{2} + \cdots + {p}_{n}}$ ,可证 ${a}_{2n} \leq \frac{2}{{p}_{n}}$ . 4.1.9 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛. 4.1.10 (1) 收敛；(2)收敛；(3)收敛；(4)收敛.
4.1.11 (1) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }\left| x\right| \neq 1\text{ 时绝对收敛 } \\ \text{ 当 }\left| x\right| = 1\text{ 时发散; } \end{array}\right.$ (2) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }x \geq 0\text{ 时绝对收敛, } \\ \text{ 当 }x < 0\text{ 时发散. } \end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析级数(1)的收敛性
考虑级数 ∑ x^n/(1+x^{2n})。当 |x|=1 时，通项趋于非零常数或振荡，级数发散。当 |x|≠1 时，分 |x|<1 和 |x|>1 讨论。
提示：注意 x=1 和 x=-1 时通项不趋于0。
步骤 2/4
目标：讨论 |x|<1 的情况
当 |x|<1 时，|x|^n → 0，且分母 1+x^{2n} → 1，故通项 ~ x^n，级数绝对收敛。
公式：|x^n/(1+x^{2n})| ≤ |x|^n
提示：用比较判别法。
步骤 3/4
目标：讨论 |x|>1 的情况
当 |x|>1 时，令 y=1/x，则 |y|<1，通项 = (1/y^n)/(1+1/y^{2n}) = y^n/(1+y^{2n})，与 |x|<1 类似，绝对收敛。
公式：x^n/(1+x^{2n}) = (1/x)^n/(1+(1/x)^{2n})
提示：对称性。
步骤 4/4
目标：分析级数(2)的收敛性
考虑级数 ∑ (-1)^{n-1}/n^2 * e^{-nx}。当 x≥0 时，e^{-nx} ≤ 1，通项绝对值 ≤ 1/n^2，绝对收敛。当 x<0 时，e^{-nx} 指数增长，通项不趋于0，发散。
公式：|(-1)^{n-1}/n^2 * e^{-nx}| = e^{-nx}/n^2
提示：注意 x<0 时 e^{-nx} → +∞。
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