方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4. 1.12 讨论下列级数的收敛性与绝对收敛性 $\left( {p > 0}\right)$ :
(1) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{n}^{p} + {\left( -1\right) }^{n - 1}}$ ; (2) $\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{\left( -1\right) }^{n - 1}}{{\left( n + {\left( -1\right) }^{n - 1}\right) }^{p}}$ .
💡 答案解析
4. 1.12 (1) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }p > 1\text{ 时绝对收敛, } \\ \text{ 当 }\frac{1}{2} < p < 1\text{ 时条件收敛; } \end{array}\right.$ (2) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }p > 1\text{ 时绝对收敛, } \\ \text{ 当 }0 < p \leq 1\text{ 时条件收敛 } \end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析级数(1)的绝对收敛性
考虑绝对值级数 ∑ |(-1)^(n-1)/(n^p + (-1)^(n-1))| = ∑ 1/|n^p + (-1)^(n-1)|。当 n 充分大时，分母 ~ n^p，因此与 p-级数比较。当 p>1 时，绝对值级数收敛；当 p≤1 时，绝对值级数发散。但需注意 p=1 时，分母为 n+(-1)^(n-1)，通项 ~ 1/n，发散。
公式：|a_n| = 1/|n^p + (-1)^(n-1)| ~ 1/n^p
提示：比较判别法：当 p>1 时绝对收敛，p≤1 时非绝对收敛。
步骤 2/4
目标：分析级数(1)的条件收敛性
当 p≤1 时，考虑原级数 ∑ (-1)^(n-1)/(n^p + (-1)^(n-1))。将通项分解：1/(n^p + (-1)^(n-1)) = 1/n^p - (-1)^(n-1)/[n^p(n^p + (-1)^(n-1))]。则原级数 = ∑ (-1)^(n-1)/n^p - ∑ 1/[n^p(n^p + (-1)^(n-1))]。第一项为交错 p-级数，当 p>0 时收敛（莱布尼茨判别法）；第二项绝对收敛当 p>1/2（因为通项 ~ 1/n^(2p)）。因此当 1/2 < p ≤ 1 时原级数条件收敛。当 p≤1/2 时，第二项发散，原级数发散。
公式：(-1)^(n-1)/(n^p + (-1)^(n-1)) = (-1)^(n-1)/n^p - 1/[n^p(n^p + (-1)^(n-1))]
提示：注意 p=1/2 是临界点，此时第二项通项 ~ 1/n，发散。
步骤 3/4
目标：分析级数(2)的绝对收敛性
绝对值级数 ∑ 1/(n+(-1)^(n-1))^p。当 n 为奇数时，n+1；当 n 为偶数时，n-1。因此通项 ~ 1/n^p，与 p-级数比较。当 p>1 时绝对收敛；当 p≤1 时发散。
公式：|b_n| = 1/(n+(-1)^(n-1))^p ~ 1/n^p
提示：比较判别法。
步骤 4/4
目标：分析级数(2)的条件收敛性
当 p≤1 时，原级数为交错级数 ∑ (-1)^(n-1)/(n+(-1)^(n-1))^p。令 a_n = 1/(n+(-1)^(n-1))^p，则 a_n 单调递减趋于 0（因为分母递增），由莱布尼茨判别法，级数收敛。因此当 0
公式：莱布尼茨判别法：a_n 单调递减趋于 0
提示：验证单调性：n+(-1)^(n-1) 严格递增。
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