方企勤 第四章 级 数 第4.1题
📝 题目
4.1.13 求证: 若级数 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n}^{2}}$ 及 $\displaystyle{\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{b}_{n}^{2}}$ 收敛,则下面级数:
$$ \mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{a}_{n} \cdot {b}_{n},\;\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }{\left( {a}_{n} + {b}_{n}\right) }^{2},\;\mathop{\sum }\limits_{{n = 1}}^{\infty }\frac{{a}_{n}}{n} $$
皆收敛.
💡 答案解析
4. 1.12 (1) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }p > 1\text{ 时绝对收敛, } \\ \text{ 当 }\frac{1}{2} < p < 1\text{ 时条件收敛; } \end{array}\right.$ (2) $\left\{ \begin{array}{l} \text{ 当 }p > 1\text{ 时绝对收敛, } \\ \text{ 当 }0 < p \leq 1\text{ 时条件收敛 } \end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明级数 ∑ a_n b_n 收敛
由柯西-施瓦茨不等式，有 ∑|a_n b_n| ≤ √(∑ a_n^2) √(∑ b_n^2)。由于 ∑ a_n^2 和 ∑ b_n^2 收敛，故 ∑|a_n b_n| 收敛，从而 ∑ a_n b_n 绝对收敛。
公式：∑|a_n b_n| ≤ √(∑ a_n^2) √(∑ b_n^2)
提示：利用柯西-施瓦茨不等式将乘积级数转化为已知收敛的平方级数。
步骤 2/3
目标：证明级数 ∑ (a_n + b_n)^2 收敛
展开 (a_n + b_n)^2 = a_n^2 + 2a_n b_n + b_n^2。由于 ∑ a_n^2 和 ∑ b_n^2 收敛，且由第一步知 ∑ a_n b_n 绝对收敛，故三个级数均收敛，其和也收敛。
公式：(a_n + b_n)^2 = a_n^2 + 2a_n b_n + b_n^2
提示：将平方和展开为已知收敛的级数之和。
步骤 3/3
目标：证明级数 ∑ a_n/n 收敛
由柯西-施瓦茨不等式，∑|a_n/n| ≤ √(∑ a_n^2) √(∑ 1/n^2)。由于 ∑ a_n^2 收敛，且 ∑ 1/n^2 收敛（p=2>1），故 ∑|a_n/n| 收敛，从而 ∑ a_n/n 绝对收敛。
公式：∑|a_n/n| ≤ √(∑ a_n^2) √(∑ 1/n^2)
提示：将 a_n/n 视为 a_n 与 1/n 的乘积，利用柯西-施瓦茨不等式。
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