方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.11 设 $D$ 为 ${\mathbf{R}}^{m}$ 中的凸集,证明 $\bar{D}$ 也是凸集.
💡 答案解析
5. 1.9 对 $\forall {x}_{n} \in {F}_{n}$ ,则 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为有界点列,证它是哥西序列.
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：证明凸集闭包仍是凸集
设 D 是 R^m 中的凸集，要证其闭包 \(\bar{D}\) 也是凸集。任取 \(x, y \in \bar{D}\)，对任意 \(\lambda \in [0,1]\)，需证 \(\lambda x + (1-\lambda)y \in \bar{D}\)。由于 \(x, y \in \bar{D}\)，存在 D 中的序列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 分别收敛到 x 和 y。由 D 的凸性，\(\lambda x_n + (1-\lambda)y_n \in D\)。该序列收敛到 \(\lambda x + (1-\lambda)y\)，因此该点属于 \(\bar{D}\)。
公式：若 \(x_n \to x, y_n \to y\)，则 \(\lambda x_n + (1-\lambda)y_n \to \lambda x + (1-\lambda)y\)
提示：利用闭包的定义：点属于闭包当且仅当存在 D 中的序列收敛到该点。
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