方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.14 求下列函数的极限:
(1) $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}\frac{{\mathrm{e}}^{x} + {\mathrm{e}}^{y}}{\cos x + \sin y}$ ; (2) $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}\frac{{x}^{2}{y}^{3/2}}{{x}^{4} + {y}^{2}}$ ;
(3) $\mathop{\lim }\limits_{\substack{{x \rightarrow + \infty } \\ {y \rightarrow + \infty } }}\left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) {\mathrm{e}}^{-\left( {x + y}\right) }$ ; (4) $\mathop{\lim }\limits_{{\left( {x,y}\right) \rightarrow \left( {0,0}\right) }}\frac{\sin \left( {{x}^{3} + {y}^{3}}\right) }{{x}^{2} + {y}^{2}}$ .
💡 答案解析
5.1.14 (1) 2; (2) 0; (3) 0; (4)
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算极限 (1) lim_{(x,y)->(0,0)} (e^x + e^y)/(cos x + sin y)
由于函数在 (0,0) 处连续，直接代入 x=0, y=0 得 (e^0+e^0)/(cos0+sin0) = (1+1)/(1+0)=2。
公式：连续性：若 f 在点连续，则极限等于函数值。
提示：检查分母是否为零，这里分母为1，不为零。
步骤 2/4
目标：计算极限 (2) lim_{(x,y)->(0,0)} x^2 y^{3/2} / (x^4 + y^2)
使用不等式估计：|x^2 y^{3/2}| ≤ (x^4 + y^2) * (1/2) * |y|^{1/2}? 更精确：由均值不等式，x^4 + y^2 ≥ 2|x|^2|y|，所以 |x^2 y^{3/2}|/(x^4+y^2) ≤ |x^2 y^{3/2}|/(2|x|^2|y|) = |y|^{1/2}/2 → 0。因此极限为0。
公式：均值不等式：a^2+b^2 ≥ 2ab，取 a=x^2, b=|y|。
提示：注意 y^{3/2} 要求 y≥0，但极限路径可考虑 y≥0，若 y<0 则表达式无定义，通常默认 y≥0。
步骤 3/4
目标：计算极限 (3) lim_{x→+∞, y→+∞} (x^2+y^2) e^{-(x+y)}
令 u=x+y, v=x-y 或其他方法。由于 x^2+y^2 ≤ (x+y)^2，所以 0 ≤ (x^2+y^2)e^{-(x+y)} ≤ (x+y)^2 e^{-(x+y)}。令 t=x+y → +∞，则 t^2 e^{-t} → 0。由夹逼准则得极限为0。
公式：夹逼准则：0 ≤ f(x,y) ≤ g(t) 且 g(t)→0。
提示：注意 x,y 独立趋于无穷，但 x+y 也趋于无穷。
步骤 4/4
目标：计算极限 (4) lim_{(x,y)->(0,0)} sin(x^3+y^3)/(x^2+y^2)
利用等价无穷小：当 u→0 时 sin u ~ u，所以 sin(x^3+y^3) ~ x^3+y^3。则原式 ~ (x^3+y^3)/(x^2+y^2)。取路径 y=kx，得 (x^3+k^3 x^3)/(x^2+k^2 x^2) = x(1+k^3)/(1+k^2) → 0。或者用不等式：|x^3+y^3| ≤ |x|(x^2+y^2) + |y|(x^2+y^2) = (|x|+|y|)(x^2+y^2)，所以 |原式| ≤ |x|+|y| → 0。因此极限为0。
公式：等价无穷小：sin u ~ u (u→0)；不等式：|x^3+y^3| ≤ (|x|+|y|)(x^2+y^2)。
提示：注意分母 x^2+y^2 非零，且分子趋于0。
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