方企勤 第五章 多元函数微分学 第5.1题
📝 题目
5.1.16 问下列函数是否在全平面连续, 为什么?
(1) $f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{matrix} \frac{{x}^{2} - {y}^{2}}{{x}^{2} + {y}^{2}}, & {x}^{2} + {y}^{2} \neq 0, \\ 0, & {x}^{2} + {y}^{2} = 0; \end{matrix}\right.$
(2) $f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin \left( {xy}\right) }{x}, & x \neq 0, \\ y, & x = 0; \end{array}\right.$
(3) $f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{x}^{4}}{{y}^{2}}}, & y \neq 0, \\ 0, & y = 0; \end{array}\right.$
(4) $f\left( {x,y}\right) = \left\{ \begin{array}{ll} {y}^{2}\ln \left( {{x}^{2} + {y}^{2}}\right) , & {x}^{2} + {y}^{2} \neq 0, \\ 0, & {x}^{2} + {y}^{2} =
💡 答案解析
5.1.16 (1) 只在点(0,0)处不连续; (2) 在全平面连续;
(3)只在点(0,0)处不连续；(4)在全平面连续.
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断函数(1)是否在全平面连续
考虑点(0,0)处的连续性。沿直线y=kx趋于(0,0)时，f(x,kx)=(x^2 - k^2 x^2)/(x^2 + k^2 x^2) = (1-k^2)/(1+k^2)，极限依赖于k，故极限不存在，因此f在(0,0)处不连续。其他点分母非零，函数连续。
公式：f(x,kx) = (1-k^2)/(1+k^2)
提示：沿不同方向极限不同说明极限不存在
步骤 2/4
目标：判断函数(2)是否在全平面连续
当x≠0时，f(x,y)=sin(xy)/x，在x≠0处连续。在x=0处，f(0,y)=y。考虑点(0,y0)处的连续性：当(x,y)→(0,y0)时，若x≠0，则sin(xy)/x = y * sin(xy)/(xy) → y0 * 1 = y0，与f(0,y0)=y0一致，故连续。
公式：lim_{x→0} sin(xy)/x = y
提示：利用重要极限sin(t)/t→1
步骤 3/4
目标：判断函数(3)是否在全平面连续
当y≠0时，函数连续。考虑点(0,0)处：沿y=x^2趋于(0,0)时，f(x,x^2)=x^2/(x^4) e^{-x^4/x^2}=1/x^2 e^{-x^2} → +∞（x→0），故极限不存在，不连续。其他点连续。
公式：f(x,x^2)=e^{-x^2}/x^2
提示：选择路径使分母趋于0更快
步骤 4/4
目标：判断函数(4)是否在全平面连续
当(x,y)≠(0,0)时，函数连续。考虑(0,0)处：由于|y^2 ln(x^2+y^2)| ≤ (x^2+y^2) |ln(x^2+y^2)|，令r^2=x^2+y^2，则|f| ≤ r^2 |ln r^2| = 2r^2 |ln r| → 0（r→0），故极限为0，连续。
公式：lim_{r→0} r^2 ln r = 0
提示：利用极坐标和极限性质
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