函数的概念（定义域、值域、对应法则）

### 第137题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)$ ，试证至少存在一个 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，且 $\beta$ — $\displaystyle \alpha=\frac{b-a}{2}$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ 。

### 第70题 若 $f(x)$ 为区间 $I$ 上的连续函数，且 $f(x)$ 的值域包含于 $I, x_{1}, x_{2}$ 为 $I$ 中任意两个不同的点，则 （A）若在区间 $I$ 上，$f(x)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f^{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f^{2}\left(x_{1}\right)+f^{2}\left(x_{2}\right)}{2}$ ． （B）若在区间 $I$ 上，$f^{\prime}(x)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f^{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f^{2}\left(x_{1}\right)+f^{2}\left(x_{2}\right)}{2}$ ． （C）若在区间 $I$ 上，$f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f\left(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\right)<\frac{f\left(f\left(x_{1}\right)\right)+f\left(f\left(x_{2}\right)\right)}{2}$ ． （D）若在区间 $I$ 上，$f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f\left(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\right)<\frac{f\left(f\left(x_{1}\right)\right)+f\left(f\left(x_{2}\right)\right)}{2}$ ．