kaoyan1advanced 高等数学 第137题
📝 题目
### 第137题
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)$ ，试证至少存在一个 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，且 $\beta$ — $\displaystyle \alpha=\frac{b-a}{2}$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ 。
💡 答案解析
**答案**：存在$\alpha,\beta$满足条件 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle F(x)=f(x)-f\left(x+\frac{b-a}{2}\right)$，定义域$\displaystyle [a,\frac{a+b}{2}]$。 步骤2：$\displaystyle F(a)=f(a)-f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，$\displaystyle F\left(\frac{a+b}{2}\right)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(b)=f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(a)$，故$\displaystyle F(a)=-F\left(\frac{a+b}{2}\right)$。 步骤3：由介值定理，存在$\displaystyle \alpha\in[a,\frac{a+b}{2}]$使$F(\alpha)=0$，取$\displaystyle \beta=\alpha+\frac{b-a}{2}$即得。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
令 $F(x) = f(x) - f\left(x + \frac{b-a}{2}\right)$，其定义域为 $\left[a, \frac{a+b}{2}\right]$。
公式：$$F(x) = f(x) - f\left(x + \frac{b-a}{2}\right)$$
提示：注意定义域为左半区间
步骤 2/4
目标：计算端点函数值
计算 $F(a) = f(a) - f\left(\frac{a+b}{2}\right)$，$F\left(\frac{a+b}{2}\right) = f\left(\frac{a+b}{2}\right) - f(b)$。由已知 $f(a)=f(b)$，得 $F\left(\frac{a+b}{2}\right) = f\left(\frac{a+b}{2}\right) - f(a) = -F(a)$。
公式：$$F\left(\frac{a+b}{2}\right) = -F(a)$$
提示：注意利用f(a)=f(b)简化表达式
步骤 3/4
目标：应用介值定理
由于 $F(a)$ 与 $F\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 互为相反数，若 $F(a)=0$，则取 $\alpha = a$ 即满足；若 $F(a) \neq 0$，则 $F(a)$ 与 $F\left(\frac{a+b}{2}\right)$ 异号。由介值定理，存在 $\alpha \in \left(a, \frac{a+b}{2}\right)$ 使得 $F(\alpha)=0$。
提示：注意F(a)与F((a+b)/2)异号时才能用介值定理
步骤 4/4
目标：得出所需点
由 $F(\alpha)=0$ 得 $f(\alpha) = f\left(\alpha + \frac{b-a}{2}\right)$。令 $\beta = \alpha + \frac{b-a}{2}$，则 $\beta - \alpha = \frac{b-a}{2}$，且 $[\alpha, \beta] \subset [a, b]$，满足 $f(\alpha)=f(\beta)$。
公式：$$F(x) = f(x) - f\left(x + \frac{b-a}{2}\right)$$
提示：注意区间端点函数值相等条件
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