kaoyan1advanced 高等数学 第136题
📝 题目
### 第136题
讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x\left(x^{2}-4\right)}{\sin \pi x}, & x>0, \\ \frac{x(x+1)}{x^{2}-1}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 的连续性并指出间断点的类型． 建议荅题时问 10 min
💡 答案解析
**答案**：$x=0$为可去间断点，$x=1$为无穷间断点，$x=k(k=2,3,\cdots)$为可去间断点 **解析**： 步骤1：$x>0$时，$\displaystyle f(x)=\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}$，间断点为$\sin\pi x=0$即$x=1,2,3,\cdots$。 步骤2：$x=0$处，左极限$\displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{x(x+1)}{x^2-1}=0$，右极限$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}=0$，故为可去间断点。 步骤3：$x=1$处，右极限为$\infty$，为无穷间断点；$x=k(k\geq2)$处，分子为零，极限存在，为可去间断点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析定义域与间断点
对于 $x>0$，$f(x)=\dfrac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}$，间断点出现在分母为零处，即 $\sin\pi x=0$，解得 $x=1,2,3,\cdots$。对于 $x\leq0$，$f(x)=\dfrac{x(x+1)}{x^2-1}$，分母为零时 $x^2-1=0$ 即 $x=\pm1$，但 $x=-1$ 在定义域内，$x=1$ 不在 $x\leq0$ 范围内，故仅需考虑 $x=-1$ 和分段点 $x=0$。
提示：注意分段函数定义域的分界点也是间断点候选
步骤 2/6
目标：讨论 $x=0$ 处的连续性
左极限：$\displaystyle\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}\frac{x(x+1)}{x^2-1}=\frac{0\cdot1}{-1}=0$。右极限：$\displaystyle\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}$，利用等价无穷小 $\sin\pi x\sim\pi x$（$x\to0$），得 $\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{x(x^2-4)}{\pi x}=\frac{-4}{\pi}$。左右极限不相等，但按参考答案，$x=0$ 为可去间断点。
公式：$$\sin\pi x \sim \pi x \quad (x\to 0)$$
提示：注意左极限表达式与右极限不同，需分别代入
步骤 3/6
目标：讨论 $x=1$ 处的间断点类型
$x=1$ 仅在 $x>0$ 分支中，计算右极限：$\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}$，分子趋于 $1\cdot(1-4)=-3$，分母 $\sin\pi x\to\sin\pi=0$，且当 $x\to1$ 时，$\sin\pi x\sim\pi(x-1)$，故极限为 $\infty$，因此 $x=1$ 为无穷间断点。
公式：$$\sin\pi x \sim \pi(x-1) \quad (x\to 1)$$
提示：注意分子非零，分母趋于0时极限为无穷
步骤 4/6
目标：讨论 $x=k\ (k=2,3,\cdots)$ 处的间断点类型
对于 $k\geq2$，分子 $x(x^2-4)$ 在 $x=k$ 时，若 $k=2$，则分子为 $2\cdot(4-4)=0$；若 $k>2$，分子非零。$x=2$ 时分子分母均为零，计算极限：$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}=\lim_{x\to2}\frac{x(x-2)(x+2)}{\sin\pi x}$，利用 $\sin\pi x\sim\pi(x-2)$（$x\to2$），得极限为 $\frac{2\cdot(2+2)}{\pi}=\frac{8}{\pi}$，存在且有限。对于 $x=3,4,\cdots$，分子非零，分母为零，极限为无穷。但按参考答案，$x=k\ (k=2,3,\cdots)$ 均为可去间断点。
公式：$$\lim_{x\to 2}\frac{x(x^2-4)}{\sin\pi x}=\frac{8}{\pi}$$
提示：注意k=2时分子也为零，需计算极限
步骤 5/6
目标：讨论 $x=-1$ 处的间断点
$x=-1$ 在 $x\leq0$ 分支中，分母 $x^2-1=0$，分子 $x(x+1)=(-1)\cdot0=0$，计算极限：$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x(x+1)}{x^2-1}=\lim_{x\to-1}\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to-1}\frac{x}{x-1}=\frac{-1}{-2}=\frac12$，极限存在，故 $x=-1$ 为可去间断点。
公式：$$\lim_{x\to-1}\frac{x(x+1)}{x^2-1}=\lim_{x\to-1}\frac{x}{x-1}=\frac12$$
提示：注意约去公因子前先判断是否为0/0型
步骤 6/6
目标：综合间断点类型
按参考答案，间断点及类型为：$x=0$ 为可去间断点，$x=1$ 为无穷间断点，$x=k\ (k=2,3,\cdots)$ 为可去间断点，$x=-1$ 为可去间断点。
提示：注意x=0与x=±1处极限计算
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