kaoyan1advanced 高等数学 第135题
📝 题目
### 第135题
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．
辣估
管题 区或 sㅓㄴㅐst． 뎡류
💡 答案解析
**答案**：$\alpha=3$，$\displaystyle \beta=\frac{f''(0)}{6}$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0$及$f$二阶可导，得$f(0)=0$，$f'(0)=0$，$\displaystyle f(x)\sim\frac{f''(0)}{2}x^2$。 步骤2：$\displaystyle \int_0^x f(t)\mathrm{d}t\sim\frac{f''(0)}{6}x^3$，分母$x^\alpha-\sin x\sim x^\alpha-x$，为使极限非零有限，需$\alpha=3$，此时$\displaystyle \beta=\frac{f''(0)}{6}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由极限条件推导f(0)和f'(0)
已知 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$，且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。由极限定义，$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$，故 $f(0)=0$。又 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$，所以 $f'(0)=0$。
提示：注意极限为0与连续性的关系
步骤 2/6
目标：利用泰勒展开表示f(x)
由于 $f(0)=0$，$f'(0)=0$，且 $f''(0) \neq 0$，将 $f(x)$ 在 $x=0$ 处泰勒展开：$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2) = \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$。因此当 $x \to 0$ 时，$f(x) \sim \frac{f''(0)}{2}x^2$。
公式：$$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + o(x^2)$$
提示：注意余项为高阶无穷小，不能忽略
步骤 3/6
目标：计算分子积分的等价无穷小
由 $f(x) \sim \frac{f''(0)}{2}x^2$，积分得 $\int_0^x f(t) \, dt \sim \int_0^x \frac{f''(0)}{2}t^2 \, dt = \frac{f''(0)}{6}x^3$。即 $\int_0^x f(t) \, dt \sim \frac{f''(0)}{6}x^3$。
公式：$$\int_0^x f(t) \, dt \sim \frac{f''(0)}{6}x^3$$
提示：注意等价无穷小替换时积分上下限不变
步骤 4/6
目标：分析分母的等价无穷小并确定α
分母为 $x^\alpha - \sin x$。当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$，所以 $x^\alpha - \sin x \sim x^\alpha - x + \frac{x^3}{6}$。为使极限非零有限，分子是 $x^3$ 阶，分母必须也是 $x^3$ 阶，因此 $\alpha = 3$。此时 $x^3 - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$。
公式：$$\sin x \sim x - \frac{x^3}{6}$$
提示：注意α需使分母与分子同阶
步骤 5/6
目标：计算极限β
当 $\alpha=3$ 时，极限为 $\beta = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^3 - \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{f''(0)}{6}x^3}{\frac{x^3}{6}} = \frac{f''(0)}{6}$。
公式：$$\beta = \lim_{x \to 0^+} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^3 - \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{f''(0)}{6}x^3}{\frac{x^3}{6}} = \frac{f''(0)}{6}$$
提示：注意等价无穷小替换时精度匹配
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，$\alpha = 3$，$\beta = \frac{f''(0)}{6}$。
提示：注意极限与导数定义结合
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