kaoyan1advanced 高等数学 第134题
📝 题目
### 第134题
设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=3+\frac{4}{x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求它的极限．
💡 答案解析
**答案**：极限为$4$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle x_{n+1}=3+\frac{4}{x_n}$，设极限为$L$，则$\displaystyle L=3+\frac{4}{L}$，解得$L=4$或$L=-1$（舍去负值）。 步骤2：由$x_1>0$，归纳得$x_n>0$，且$\displaystyle x_{n+1}-4=\frac{4-x_n}{x_n}$，通过单调性分析知数列收敛于$4$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：建立极限方程
设数列极限为$L$，则对递推式$x_{n+1}=3+\frac{4}{x_n}$两边取极限，得$L=3+\frac{4}{L}$。
公式：$$L=3+\frac{4}{L}$$
提示：注意极限存在的先验假设
步骤 2/6
目标：步骤2：求解极限值
解方程$L=3+\frac{4}{L}$，即$L^2-3L-4=0$，解得$L=4$或$L=-1$。由$x_1>0$及递推式，归纳得$x_n>0$，故舍去负值，可能的极限为$L=4$。
公式：$$L=3+\frac{4}{L}$$
提示：注意根据正负性舍去不合理的根
步骤 3/6
目标：步骤3：证明数列有界
由$x_1>0$，假设$x_n>0$，则$x_{n+1}=3+\frac{4}{x_n}>0$，由数学归纳法知$x_n>0$对所有$n$成立。进一步，考虑$x_{n+1}-4=3+\frac{4}{x_n}-4=\frac{4-x_n}{x_n}$，因此$x_{n+1}-4$与$4-x_n$同号。
公式：$$x_{n+1}-4=\frac{4-x_n}{x_n}$$
提示：注意符号判断与归纳假设
步骤 4/6
目标：步骤4：分析单调性
若$x_n<4$，则$x_{n+1}-4>0$，即$x_{n+1}>4$；若$x_n>4$，则$x_{n+1}-4<0$，即$x_{n+1}<4$。因此数列在$4$两侧摆动，但绝对值$|x_{n+1}-4|=\frac{|x_n-4|}{x_n}$，由于$x_n>0$，当$x_n>1$时，$|x_{n+1}-4|<|x_n-4|$，数列单调递减趋于$4$。需验证$x_n>1$：由$x_1>0$，若$x_1\le1$，则$x_2=3+\frac{4}{x_1}\ge7>1$，故从某项起$x_n>1$成立。
公式：$$x_{n+1}-4 = \frac{4(x_n-4)}{x_n}$$
提示：注意分情况讨论x_n与4的大小关系
步骤 5/6
目标：步骤5：证明收敛性
由步骤4，数列从某项后单调有界，故收敛。设极限为$L$，由步骤1-2得$L=4$。
提示：注意单调有界定理的适用条件
步骤 6/6
目标：步骤6：给出答案
因此数列$\{x_n\}$收敛，极限为$4$。
提示：注意验证极限的唯一性
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