kaoyan1advanced 高等数学 第133题

教材习题

📝 题目

### 第133题

设二元函数 $\displaystyle F(x, y)=\frac{1}{2 x} \varphi(y-x)$ ，且 $\displaystyle F(1, y)=\frac{y^{2}}{2}-y+5$ ．又设 $x_{1}>0, x_{n+1}=F\left(x_{n}\right.$ ， $\left.2 x_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ． （1）证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛； （2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

💡 答案解析

**答案**：（1）收敛；（2）$3$ **解析**： 步骤1：由$\displaystyle F(1,y)=\frac{1}{2}\varphi(y-1)=\frac{y^2}{2}-y+5$，得$\displaystyle \varphi(t)=\frac{1}{2}(t+1)^2-(t+1)+10$，即$\displaystyle \varphi(t)=\frac{1}{2}t^2+10$。 步骤2：故$\displaystyle F(x,y)=\frac{1}{2x}\left(\frac{1}{2}(y-x)^2+10\right)$，则$\displaystyle x_{n+1}=F(x_n,2x_n)=\frac{1}{2x_n}\left(\frac{1}{2}x_n^2+10\right)=\frac{x_n}{4}+\frac{5}{x_n}$。 步骤3：由均值不等式$\displaystyle x_{n+1}\geq 2\sqrt{\frac{x_n}{4}\cdot\frac{5}{x_n}}=\sqrt{5}$，且$\displaystyle x_{n+1}\leq \frac{x_n}{4}+\frac{5}{\sqrt{5}}$，单调有界得收敛，极限满足$\displaystyle L=\frac{L}{4}+\frac{5}{L}$，解得$L=3$（负舍）。 **难度**：★★★★☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：确定函数 φ 的表达式
由条件 $F(1, y) = \frac{1}{2} \varphi(y-1) = \frac{y^2}{2} - y + 5$，令 $t = y-1$，则 $y = t+1$，代入得 $\frac{1}{2} \varphi(t) = \frac{(t+1)^2}{2} - (t+1) + 5$。化简右边：$\frac{(t+1)^2}{2} - (t+1) + 5 = \frac{t^2 + 2t + 1}{2} - t - 1 + 5 = \frac{t^2}{2} + t + \frac{1}{2} - t + 4 = \frac{t^2}{2} + \frac{9}{2}$。两边乘以 2 得 $\varphi(t) = t^2 + 9$。
公式：$$\frac{1}{2}\varphi(t) = \frac{(t+1)^2}{2} - (t+1) + 5$$
提示：注意换元后代入要准确
步骤 2/4
目标：推导递推关系
由 $F(x, y) = \frac{1}{2x} \varphi(y-x)$ 及 $\varphi(t) = t^2 + 9$，得 $F(x, y) = \frac{1}{2x} \left( (y-x)^2 + 9 \right)$。代入 $y = 2x_n$，得 $x_{n+1} = F(x_n, 2x_n) = \frac{1}{2x_n} \left( (2x_n - x_n)^2 + 9 \right) = \frac{1}{2x_n} (x_n^2 + 9) = \frac{x_n}{2} + \frac{9}{2x_n}$。
公式：$$x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{9}{2x_n}$$
提示：注意代入时保持变量一致性
步骤 3/4
目标：证明数列收敛
由均值不等式，$x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{9}{2x_n} \geq 2 \sqrt{\frac{x_n}{2} \cdot \frac{9}{2x_n}} = 3$，故 $x_n \geq 3$ 对所有 $n \geq 2$ 成立（$x_1 > 0$ 已知）。考虑 $x_{n+1} - 3 = \frac{x_n}{2} + \frac{9}{2x_n} - 3 = \frac{x_n^2 - 6x_n + 9}{2x_n} = \frac{(x_n-3)^2}{2x_n} \geq 0$，且当 $x_n > 3$ 时 $x_{n+1} < x_n$（因为 $x_{n+1} - x_n = \frac{9 - x_n^2}{2x_n} < 0$）。因此数列从第二项起单调递减且有下界 3，故收敛。
公式：$$x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + \frac{9}{2x_n} \geq 2\sqrt{\frac{x_n}{2} \cdot \frac{9}{2x_n}} = 3$$
提示：注意均值不等式使用条件为正数
步骤 4/4
目标：求极限
设极限为 $L$，则 $L \geq 3$。对递推式两边取极限得 $L = \frac{L}{2} + \frac{9}{2L}$，即 $2L = L + \frac{9}{L}$，整理得 $L = \frac{9}{L}$，故 $L^2 = 9$，解得 $L = 3$（负值舍去）。
公式：$$L = \frac{L}{2} + \frac{9}{2L}$$
提示：注意极限存在性及负值舍去

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