kaoyan1advanced 高等数学 第132题
📝 题目
### 第132题
（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x
💡 答案解析
**答案**：（1）略；（2）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ **解析**： 步骤1：（1）令$f(x)=\arctan x - x$，$\displaystyle g(x)=x-\frac{1}{3}x^3-\arctan x$，求导得$f'(x)<0$，$g'(x)>0$，结合$f(0)=g(0)=0$得证。 步骤2：（2）$\displaystyle \sum_{k=1}^n \arctan\frac{n}{n^2+k^2}=\sum_{k=1}^n \arctan\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$，由夹逼准则和定积分定义，极限为$\displaystyle \int_0^1 \arctan(1)\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明不等式
令 $f(x)=\arctan x - x$，则 $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}<0$，故 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。又 $f(0)=0$，所以 $f(x)<0$，即 $\arctan x < x$。再令 $g(x)=x-\frac{1}{3}x^3-\arctan x$，则 $g'(x)=1-x^2-\frac{1}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)(1-x^2)-1}{1+x^2}=\frac{-x^4}{1+x^2}<0$，故 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减。又 $g(0)=0$，所以 $g(x)<0$，即 $x-\frac{1}{3}x^3<\arctan x$。综上，对 $x>0$，有 $x-\frac{1}{3}x^3<\arctan x
公式：$$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}<0$$
提示：注意构造辅助函数并利用单调性
步骤 2/5
目标：化简求和式
原极限为 $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \arctan\frac{n}{n^2+k^2}$。将分子分母同除以 $n^2$，得 $\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$，因此 $\sum_{k=1}^n \arctan\frac{n}{n^2+k^2}=\sum_{k=1}^n \arctan\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$。
公式：$$\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}$$
提示：注意分子分母同除以n^2时各项变化
步骤 3/5
目标：应用夹逼准则
由（1）中不等式，对 $x>0$ 有 $x-\frac{1}{3}x^3<\arctan x
提示：注意夹逼准则中不等式的方向
步骤 4/5
目标：估计上下界极限
考虑 $\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$，这是函数 $\frac{1}{1+x^2}$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，极限为 $\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\big|_0^1=\frac{\pi}{4}$。而 $\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}\right)^3\leq\sum_{k=1}^n\frac{1}{n^3}=\frac{1}{n^2}\to0$，故 $\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}\right)^3\to0$。因此上下界极限均为 $\frac{\pi}{4}$。
公式：$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+\frac{k^2}{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2}$$
提示：注意黎曼和与积分对应关系
步骤 5/5
目标：得出极限值
由夹逼准则，原极限 $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \arctan\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\pi}{4}$。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \arctan\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\pi}{4}$$
提示：注意夹逼准则的放缩方向
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