kaoyan1advanced 高等数学 第131题
📝 题目
### 第131题
设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。
💡 答案解析
**答案**：数列$\{a_n\}$收敛 **解析**： 步骤1：令$\displaystyle b_n=a_n+2\sqrt{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$，则$a_n=b_n-2\sqrt{n}$。 步骤2：利用积分估计$\displaystyle \int_1^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x < b_n < 1+\int_1^n\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$，得$2\sqrt{n+1}-2 < b_n < 2\sqrt{n}-1$。 步骤3：故$-2 < a_n < -1$，且$a_n$单调递减（由$b_n$与$\sqrt{n}$的差单调性），由单调有界准则知收敛。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：步骤1：定义辅助数列
令 $b_n = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$，则 $a_n = b_n - 2\sqrt{n}$。
提示：注意辅助数列的引入简化了表达式
步骤 2/6
目标：步骤2：利用积分估计 $b_n$ 的范围
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $[1, n+1]$ 上的积分。由于 $f(x)$ 单调递减，有 $\int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < b_n < 1 + \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$。计算积分：$\int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n+1} - 2$，$\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n} - 2$。因此 $2\sqrt{n+1} - 2 < b_n < 2\sqrt{n} - 1$。
公式：$$\int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n+1} - 2, \quad \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n} - 2$$
提示：注意积分区间和单调性方向
步骤 3/6
目标：步骤3：推导 $a_n$ 的有界性
由 $a_n = b_n - 2\sqrt{n}$，结合步骤2的不等式得：$2\sqrt{n+1} - 2 - 2\sqrt{n} < a_n < 2\sqrt{n} - 1 - 2\sqrt{n}$，即 $2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) - 2 < a_n < -1$。又 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$，故 $2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) - 2 < -2 + \frac{1}{\sqrt{n}} \leq -1$（当 $n=1$ 时取等），因此 $-2 < a_n < -1$，即 $a_n$ 有界。
公式：$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$$
提示：注意不等式方向及放缩的合理性
步骤 4/6
目标：步骤4：证明 $a_n$ 单调递减
考虑 $a_{n+1} - a_n = \left( b_{n+1} - 2\sqrt{n+1} \right) - \left( b_n - 2\sqrt{n} \right) = \frac{1}{\sqrt{n+1}} - 2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$。由于 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} > \frac{1}{2\sqrt{n+1}}$，所以 $2(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) > \frac{1}{\sqrt{n+1}}$，从而 $a_{n+1} - a_n < 0$，即 $a_n$ 单调递减。
公式：$$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} > \frac{1}{2\sqrt{n+1}}$$
提示：注意不等式方向，避免符号错误
步骤 5/6
目标：步骤5：应用单调有界准则
由步骤3知 $a_n$ 有下界（例如 $-2$），由步骤4知 $a_n$ 单调递减，根据单调有界准则，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
提示：注意单调递减和有下界同时满足才能用准则
步骤 6/6
目标：步骤6：结论
因此，数列 $\{a_n\}$ 收敛。
提示：注意单调有界定理的应用条件
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