kaoyan1advanced 高等数学 第130题
📝 题目
### 第130题
已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于 （A） $\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
## 解答题
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：解齐次方程$y''-6y'+9y=0$，特征根$r=3$（二重），齐次通解为$(C_1+C_2x)\mathrm{e}^{3x}$。 步骤2：设非齐次特解$y^*=Ax^2\mathrm{e}^{3x}$，代入得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$，故通解$\displaystyle y=(C_1+C_2x+\frac{1}{2}x^2)\mathrm{e}^{3x}$。 步骤3：由$y(0)=0$得$C_1=0$，由$y'(0)=2$（切线斜率）得$C_2=2$，故$\displaystyle y=(2x+\frac{1}{2}x^2)\mathrm{e}^{3x}=\frac{x}{2}(x+4)\mathrm{e}^{3x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：解齐次方程
齐次方程 $y''-6y'+9y=0$ 的特征方程为 $r^2-6r+9=0$，解得 $r=3$（二重根），故齐次通解为 $y_h = (C_1 + C_2 x) \mathrm{e}^{3x}$。
公式：$$r^2-6r+9=0$$
提示：注意二重根对应通解形式
步骤 2/5
目标：求非齐次特解
非齐次项为 $\mathrm{e}^{3x}$，而 $3$ 是二重特征根，故设特解 $y^* = A x^2 \mathrm{e}^{3x}$。代入原方程：$y^{*\prime} = A(2x + 3x^2)\mathrm{e}^{3x}$，$y^{*\prime\prime} = A(2 + 12x + 9x^2)\mathrm{e}^{3x}$。代入得 $A(2 + 12x + 9x^2) - 6A(2x + 3x^2) + 9A x^2 = 1$，化简得 $2A = 1$，故 $A = \frac{1}{2}$。因此特解 $y^* = \frac{1}{2} x^2 \mathrm{e}^{3x}$。
公式：$$y^* = A x^2 e^{3x}$$
提示：注意二重根设特解时乘x^2
步骤 3/5
目标：写出通解
非齐次方程的通解为 $y = y_h + y^* = (C_1 + C_2 x + \frac{1}{2} x^2) \mathrm{e}^{3x}$。
公式：$$y = y_h + y^* = (C_1 + C_2 x + \frac{1}{2} x^2) \mathrm{e}^{3x}$$
提示：注意特解形式与齐次解的重根处理
步骤 4/5
目标：利用初始条件确定常数
由曲线过原点 $y(0)=0$ 得 $C_1 = 0$。原点的切线平行于直线 $2x - y - 5 = 0$，该直线斜率为 $2$，故 $y'(0)=2$。求导得 $y' = [C_2 + x + \frac{3}{2} x^2 + 3(C_1 + C_2 x + \frac{1}{2} x^2)] \mathrm{e}^{3x}$，代入 $x=0$ 得 $y'(0) = C_2 = 2$。因此 $C_2 = 2$。
提示：注意切线斜率与导数关系
步骤 5/5
目标：得到最终表达式
代入 $C_1=0, C_2=2$ 得 $y = (2x + \frac{1}{2} x^2) \mathrm{e}^{3x} = \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3x}$。对应选项 (C)。
公式：$$y = \frac{x}{2}(x+4)\mathrm{e}^{3x}$$
提示：注意特解形式与初始条件匹配
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