kaoyan1advanced 高等数学 第129题
📝 题目
### 第129题
如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则 （A）$a=-1, b=1$ ． （B）$a=1, b=-1$ ． （C）$a=2, b=1$ ． （D）$a=2, b=2$ ．
建放答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：将特解$y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$代入原方程，比较系数。 步骤2：计算得$a=2, b=1$，故选C。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：改写特解并分析根的情况
将特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ 改写为 $y^{*}=x\mathrm{e}^{-x}(\cos x+\sin x)$。注意到非齐次项为 $\mathrm{e}^{-x}\cos x$，而特解中含有 $x$ 因子，说明 $\lambda=-1\pm i$ 是特征方程的根。
提示：特解含x因子说明λ是特征根
步骤 2/4
目标：设特征方程并利用韦达定理求系数
设特征方程为 $r^2+ar+b=0$，由于 $\lambda=-1\pm i$ 是根，则特征根为 $r_{1,2}=-1\pm i$。由韦达定理：
\[ r_1+r_2 = -2 = -a \Rightarrow a=2,\quad r_1 r_2 = (-1+i)(-1-i)=1+1=2 = b \Rightarrow b=2. \]
公式：$$r^2+ar+b=0$$
提示：注意特征根为共轭复数时韦达定理仍适用
步骤 3/4
目标：验证系数与特解形式的一致性
若 $b=2$，则特征方程为 $r^2+2r+2=0$，其根恰为 $-1\pm i$，此时非齐次项 $\mathrm{e}^{-x}\cos x$ 对应的 $\lambda=-1+i$ 是特征根，故特解应含 $x$ 因子，与题目所给特解形式一致。因此 $a=2,b=2$ 符合条件。
公式：$$r^2+ar+b=0$$
提示：注意特征根与λ的关系决定特解形式
步骤 4/4
目标：验证特解满足方程并得出结论
将 $a=2,b=2$ 代入原方程，特解 $y^{*}=x\mathrm{e}^{-x}(\cos x+\sin x)$ 应满足方程。通过计算（略）可确认成立。故正确选项为 D。
提示：验证特解时需代入原方程并化简
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