kaoyan1advanced 高等数学 第128题
📝 题目
### 第128题
设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间（0， $+\infty)$ 上有界，则实数 $b$ 的取值范围是 （A）$[0,+\infty)$ ． （B）$(-\infty, 0)$ ． （C）$(-\infty, 2)$ ． （D）$(-\infty,+\infty)$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：特征方程为$r^2+br+1=0$，判别式$\Delta=b^2-4$。 步骤2：当$\Delta\ge0$时，特征根为实根，解的形式为$C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}$，要在$(0,+\infty)$上有界，需$r_1\le0$且$r_2\le0$，由韦达定理，$r_1+r_2=-b\le0$，$r_1 r_2=1>0$，故$r_1,r_2$同号且均为负，则$b\ge0$。 步骤3：当$\Delta<0$时，特征根为共轭复根$\displaystyle -\frac{b}{2}\pm i\frac{\sqrt{4-b^2}}{2}$，解为$\displaystyle e^{-\frac{b}{2}x}(C_1\cos\omega x+C_2\sin\omega x)$，有界需$\displaystyle -\frac{b}{2}\le0$，即$b\ge0$。 步骤4：综上，$b\ge0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征方程
对于二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + b y' + y = 0$，其特征方程为 $r^2 + b r + 1 = 0$。
公式：$$r^2 + b r + 1 = 0$$
提示：注意特征方程系数对应准确
步骤 2/5
目标：计算判别式并分类讨论
判别式 $\Delta = b^2 - 4$。根据 $\Delta$ 的符号分两种情况讨论：$\Delta \ge 0$（实根）和 $\Delta < 0$（复根）。
公式：$$\Delta = b^2 - 4$$
提示：注意Δ≥0和Δ<0的边界情况
步骤 3/5
目标：情况一：实根（$\Delta \ge 0$）
此时特征根为实根 $r_1, r_2$，通解为 $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$。要使解在 $(0, +\infty)$ 上有界，需 $r_1 \le 0$ 且 $r_2 \le 0$。由韦达定理，$r_1 + r_2 = -b$，$r_1 r_2 = 1 > 0$，故 $r_1, r_2$ 同号且均为负，从而 $r_1 + r_2 = -b \le 0$，即 $b \ge 0$。
公式：$$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$
提示：注意实根同号且为负的条件
步骤 4/5
目标：情况二：复根（$\Delta < 0$）
此时特征根为共轭复根 $r = -\frac{b}{2} \pm i \frac{\sqrt{4 - b^2}}{2}$，通解为 $y(x) = e^{-\frac{b}{2} x} (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x)$，其中 $\omega = \frac{\sqrt{4 - b^2}}{2}$。要使解在 $(0, +\infty)$ 上有界，需指数部分 $e^{-\frac{b}{2} x}$ 不增长，即 $-\frac{b}{2} \le 0$，亦即 $b \ge 0$。
公式：$$y(x) = e^{-\frac{b}{2} x} (C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x), \omega = \frac{\sqrt{4 - b^2}}{2}$$
提示：注意指数部分非正才保证有界
步骤 5/5
目标：综合结论
综合两种情况，实数 $b$ 的取值范围是 $b \ge 0$，即 $[0, +\infty)$。因此正确选项为 (A)。
提示：注意特征根实部与有界性的关系
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