高等数学

共 175 道题目

1 📝 有解析

### 第1题极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-\sin ^{x} x}{x^{2} \arctan x}=$ $\_\_\_\_$ ．

2 📝 有解析

### 第2题 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} \sqrt{t} \cos t \mathrm{~d} t}{x}=$$ $\_\_\_\_$ ．建役答题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}

3 📝 有解析

### 第3题设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{\ln (1+x)} t f(t) \mathrm{d} t}{\left[\int_{0}^{x} \sqrt{f(t)} \mathrm{d} t\right]^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

4 📝 有解析

### 第4题当 $x \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left[\frac{\mathrm{e}}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}}\right]^{x}-\sqrt{\mathrm{e}}$ 与 $x^{k}$ 是同阶无穷小量，则 $k=$ $\_\_\_\_$ .

5 📝 有解析

### 第5题 \quad $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\sin x \cos \alpha x}{1+\sin x \cos \beta x}\right)^{\cot ^{3} x}=$ $\_\_\_\_$ ．

6 📝 有解析

### 第6题已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x+f(x)}{x^{4}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}}{f(x)}=$ $\_\_\_\_$

7 📝 有解析

### 第7题 \quad $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \cdot\left|1-2+3-\cdots+(-1)^{n+1} n\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 第8题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{3}+1^{2}}+\frac{2 n}{n^{3}+2^{2}}+\cdots+\frac{n^{2}}{n^{3}+n^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}+n}}=$ $\_\_\_\_$ ．$ $\_\_\_\_$ ．$

11 📝 有解析

### 第11题设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{3}+1, & x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}+1, & x>0,\end{array} y=f[f(x)]\right.$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

12 📝 有解析

### 第12题已知函数 $y=f(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{y}+6 x y+x^{2}=1$ 所确定，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

13 📝 有解析

### 第13题设函数 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-2 f\left(x_{0}\right)+f\left(x_{0}-\Delta x\right)}{(\Delta x)^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

14 📝 有解析

### 第14题已知 $\displaystyle y=\frac{2 x^{3}+x^{2}-4 x-1}{2 x^{2}+3 x-2}$ ，则 $y^{(8)}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．

15 📝 有解析

### 第15题设 $x=2 \int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-s^{2}} \mathrm{~d} s, y=\int_{0}^{t} \sin (t-s)^{2} \mathrm{~d} s$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=\sqrt{\pi}}=$ $\_\_\_\_$。

16 📝 有解析

### 第16题已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\ln x$ 相切，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{x+\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．

17 📝 有解析

### 第17题曲线 $y+x y-\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{y}=0$ 在点 $(0, y(0))$ 处的曲率为 $\_\_\_\_$ ．

18 📝 有解析

### 第18题曲线 $x^{3}+y^{3}=y^{2}$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．

19 📝 有解析

### 第19题 $\displaystyle \int \frac{\ln \left(1-x^{2}\right)}{2 x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

20 📝 有解析

### 第20题已知 $y^{\prime}(x)=\cos (1-x)^{2}$ ，且 $y(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

21 📝 有解析

### 第21题 $\int_{0}^{2 \pi}\left|\sin ^{2} x-\cos ^{2} x\right| \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

22 📝 有解析

### 第22题 I=$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\left(1+\mathrm{e}^{x}\right)\left(1+x^{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

23 📝 有解析

### 第23题设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $\int_{-1}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$。

24 📝 有解析

### 第24题已知 $f^{\prime}(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

25 📝 有解析

### 第25题已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，则 $\alpha$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

26 📝 有解析

### 第26题若函数 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0$ ，其中 $a=2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ， $f(0)=\alpha, f^{\prime}(0)=\beta$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

27 📝 有解析

### 第27题曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}$ 与其渐近线围成区域绕其渐近线旋转所得旋转体体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ．

28 📝 有解析

### 第28题曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $\_\_\_\_$。

29 📝 有解析

### 第29题曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ．

30 📝 有解析

### 第30题常数 $a>0$ ，心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 一周的长度 $=$ $\_\_\_\_$ ．

31 📝 有解析

### 第31题三角形 $A B C$ 的边 $B C$ 上的高为 $\_\_\_\_$ ．其中 $A(1,0,2), B(3,-1,5), C(2,1,3)$ ．

32 📝 有解析

### 第32题在 $x O y$ 平面内，过原点且与直线 $\displaystyle \frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-5}{1}$ 垂直的直线方程为建议谷题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

33 📝 有解析

### 第33题直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ 在平面 $\Pi: x-y+2 z-1=0$ 上的投影直线 $L_{0}$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成的曲面方程为 $\_\_\_\_$。

34 📝 有解析

### 第34题设 $\displaystyle z=\left(x^{2} \sin y^{5}+x^{3}\right)\left(2 x^{3}+\tan y^{4}\right) x^{\frac{y^{3}}{2}}+e^{x^{5} y^{6}}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．

35 📝 有解析

### 第35题设 $f(x+y, x-y)=2\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(x, y)-f_{y}^{\prime}(x, y)=$ $\_\_\_\_$。

36 📝 有解析

### 第36题设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{x^{2}+y^{2}}=0$ ，则 $2 f_{x}^{\prime}(0,0)+ f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$。

37 📝 有解析

### 第37题曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $2 x+4 y-z=0$ 平行的切平面方程是 $\_\_\_\_$ ．

38 📝 有解析

### 第38题函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．

39 📝 有解析

### 第39题函数 $z=x^{2}+y^{2}-x y$ 在区域 $|x|+|y| \leqslant 1$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$。建议荅题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

40 📝 有解析

### 第40题设 $z(x, y)=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t \int_{t}^{x} f(t+y) g(y u) \mathrm{d} u$ ，其中 $f$ 连续，$g$ 有连续的一阶导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．

41 📝 有解析

### 第41题 D$ 是由直线 $y=x, y=\pi, x=0$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{\pi-x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$

42 📝 有解析

### 第42题 D$ 是由曲线 $y=-a+\sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$ 和直线 $y=-x$ 所围成的平面区域，则二重积分 $\iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{4 a^{2}-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．$

43 📝 有解析

### 第43题 \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}$\left[(x+1)^{2}+2 y^{2}\right] \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．

44 📝 有解析

### 第44题设 $a>0, f(x)=g(x)=\left\{\begin{array}{ll}a, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array} \quad D\right.$ 表示全平面，则 $\iint_{D} f(x) g(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．建议谷题时闪 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$ 熟䋘

45 📝 有解析

### 第45题设 $\Omega$ 是由 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $z=1$ 所围成的空间体，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+2 y+z)^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ ．体估

46 📝 有解析

### 第46题有一金属丝呈半圆形 $L:\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant \pi)\right.$ ，其上每一点的密度都等于该点的纵坐标，则该金属丝的质量为 $\_\_\_\_$ ．建衩答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

47 📝 有解析

### 第47题 \Sigma$ 是几何体 $V=\{(x, y, z)| | x|\leqslant 1,|y| \leqslant 2,|z| \leqslant 3\}$ 边界曲面的外侧，则 $I= \oiint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．$

48 📝 有解析

### 第48题上半球面 $\Sigma: z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的形心为 $\_\_\_\_$ ． ## 管题区域

49 📝 有解析

### 第49题设曲线 $\Gamma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0, a>0)$ 与 $x^{2}+y^{2}=a x$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向．则曲线积分 $I=\oint_{\Gamma} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$。建议谷题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$ （1）

50 📝 有解析

### 第50题设 $\oint_{L} 2[x \varphi(y)+\psi(y)] \mathrm{d} x+\left[x^{2} \psi(y)+2 x y^{2}-2 x \varphi(y)\right] \mathrm{d} y=0$ ，其中 $L$ 为平面上任意一条简单光滑闭曲线，$\varphi(y), \psi(y)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有连续导数，且 $\varphi(0)=-2, \psi(0)=1$ ，则 $\varphi(y)=$ $\_\_\_\_$ ,$\psi(y)=$ $\_\_\_\_$

51 📝 有解析

### 第51题若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^{n^{2}} x^{n}(a>0)$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ ，则 $a$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．

52 📝 有解析

### 第52题已知级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)(p>0)$ 条件收敛，则 $p$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．建设谷题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 뚤혀

53 📝 有解析

### 第53题设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-2 x, & -1

54 📝 有解析

### 第54题设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x<1, \\ 2 x, & 1 \leqslant x \leqslant 2,\end{array} S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi x}{2}\right.$ ，其中 $\displaystyle b_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \sin \frac{n \pi x}{2} \mathrm{~d} x$ ，则 $S(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．

55 📝 有解析

### 第55题已知 $f(x)$ 是微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的特解，则积分 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．建设谷题时问体佔

56 📝 有解析

### 第56题 x y^{\prime}=y($\ln y-\ln x)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

57 📝 有解析

### 第57题 $\displaystyle \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．$ 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}

58 📝 有解析

### 第58题微分方程 $y^{\prime \prime}+y=2 \mathrm{e}^{x}+4 \sin x$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}=0$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．

59 📝 有解析

### 第59题设 $y=\left(C_{1}+x\right) \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{-x}$ 是 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=g \mathrm{e}^{c x}$ 的通解，则常数 $a, b, c, g$ 分别是煡设荅题时间［］］［］

60 📝 有解析

### 第60题方程 $y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+4 \cos x$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．［］ ## 选择题

61 📝 有解析

### 第61题设定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数 $f(x)$ 的图形关于 $x=0$ 与 $x=1$ 均对称，则下列命题中，正确命题为（1）若 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（2）若 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（3） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（4） $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\frac{x}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ 为周期函数．（A）（2）（3）．（B）（2）（4）．（C）（1）（2）（3）．（D）（1）（2）（4）．

62 📝 有解析

### 第62题若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{a}}{(n+1)^{b}-n^{b}}=2023$ ，则（A）$\displaystyle a=-\frac{2022}{2023}, b=\frac{1}{2023}$ ．（B）$\displaystyle a=\frac{2022}{2023}, b=-\frac{1}{2023}$ ．（C）$\displaystyle a=\frac{2022}{2023}, b=\frac{1}{2023}$ ．（D）$\displaystyle a=-\frac{2022}{2023}, b=-\frac{1}{2023}$ ．

63 📝 有解析

### 第63题设函数 $\displaystyle \varphi(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}\left(2+\sin \frac{1}{x}\right), & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 且函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则函数 $f(\varphi(x))$ 在 $x=0$ 处（A）不连续．（B）连续但不可导．（C）可导且导数为 0 ．（D）可导且导数不为 0 ．

64 📝 有解析

### 第64题设 $\alpha_{1}=\ln (1+x)+\ln (1-x), \alpha_{2}=2^{x^{4}+x}-1, \alpha_{3}=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$ ．当 $x \rightarrow 0$ 时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（A）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．（B）$\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$. （C）$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{2}$ ．（D）$\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}$ ．

65 📝 有解析

### 第65题已知 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，$g(x)$ 在 $x_{0}$ 处间断．则下列函数中在 $x_{0}$ 处间断的是（A）$f(g(x))$ ．（B）$g(f(x))$ ．（C）$g^{2}(x)$ ．（D） $\mathrm{e}^{f(x)} g(x)$ ．

66 📝 有解析

### 第66题下述命题正确的是（A）设 $f(x)$ 与 $g(x)$ 均在 $x_{0}$ 处不连续，则 $f(x) g(x)$ 在 $x_{0}$ 处必不连续．（B）设 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，$f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) g(x)=0$ ．（C）设在 $x=x_{0}$ 的去心左邻域内 $f(x)

67 📝 有解析

### 第67题 x=0$ 是 $f(x)=\frac{2}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}$ 的（A）跳跃间断点．（B）可去间断点．（C）无穷间断点．（D）振荡间断点．$

68 📝 有解析

### 第68题已知 $x=0$ 是函数 $\displaystyle f(x)=\frac{a x-\ln (1+x)}{x+b \sin x}$ 的可去间断点，则常数 $a, b$ 的取值范围是（A）$a=1, b$ 为任意实数．（B）$a \neq 1, b$ 为任意实数．（C）$b=-1, a$ 为任意实数．（D）$b \neq-1, a$ 为任意实数．

69 📝 有解析

### 第69题设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\arctan \frac{x+1}{x-1}+a, & x>1, \\ c, & x=1 \\ \arctan \frac{x+1}{x-1}+b, & x<1\end{array}\right.$ ，可导，则 $f^{\prime}(1)=$ （A）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C） 1 ．（D）与 $a, b$ 的值有关．

70 📝 有解析

### 第70题若 $f(x)$ 为区间 $I$ 上的连续函数，且 $f(x)$ 的值域包含于 $I, x_{1}, x_{2}$ 为 $I$ 中任意两个不同的点，则（A）若在区间 $I$ 上，$f(x)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f^{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f^{2}\left(x_{1}\right)+f^{2}\left(x_{2}\right)}{2}$ ．（B）若在区间 $I$ 上，$f^{\prime}(x)<0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f^{2}\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)<\frac{f^{2}\left(x_{1}\right)+f^{2}\left(x_{2}\right)}{2}$ ．（C）若在区间 $I$ 上，$f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f\left(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\right)<\frac{f\left(f\left(x_{1}\right)\right)+f\left(f\left(x_{2}\right)\right)}{2}$ ．（D）若在区间 $I$ 上，$f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $\displaystyle f\left(f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)\right)<\frac{f\left(f\left(x_{1}\right)\right)+f\left(f\left(x_{2}\right)\right)}{2}$ ．

71 📝 有解析

### 第71题设有命题（1）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导．（2）若 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导．（3）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，且 $f\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处不可导．（4）若 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导．则上述命题中正确的个数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．

72 📝 有解析

### 第72题下列 4 个命题（1）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，且 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．（2）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ 在 $x= a$ 处必可导．（3）设 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)$ 存在，则 $f(x)=|x-a| \varphi(x)$ 在 $x= a$ 处必可导．（4）若 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(a+x)-f(a-x)}{x}$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处必可导．正确的命题为（A）（1）与（2）．（B）（3）与（4）．（C）（1）与（3）．（D）（2）与（4）．

73 📝 有解析

### 第73题设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2+(2 x)^{n}+x^{2 n}}, x \in(0,+\infty)$ ，则 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内不可导的点的个数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．建设器题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

74 📝 有解析

### 第74题设 $f(x), g(x)$ 定义在 $(-1,1)$ 上，且都在 $x=0$ 处连续，若 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)}{x}, & x \neq 0, \\ 2, & x=0,\end{array}\right.$ 则（A）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．（B）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=1$ ．（C）$g(0)=0$ 且 $g^{\prime}(0)=2$ ．（D）$g(0)=1$ 且 $g^{\prime}(0)=0$ ．

75 📝 有解析

### 第75题设严格单调函数 $y=f(x)$ 有二阶连续导数，其反函数为 $x=\varphi(y)$ ，且 $f(1)=2$ ， $f^{\prime}(1)=2, f^{\prime \prime}(1)=3$ ，则 $\varphi^{\prime \prime}(2)$ 等于（A）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（B）-3 ．（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．（D）$\displaystyle -\frac{3}{8}$ ．

76 📝 有解析

### 第76题设函数 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\prime}(x)}>0$ ，则（A）$f(1)>f(0)$ ．（B）$f(1)1$ ．建议容题时问

77 📝 有解析

### 第77题设 $\displaystyle 0g(x)>h(x)$ ．（B）$h(x)>g(x)>f(x)$ ．（C）$g(x)>f(x)>h(x)$ ．（D）$f(x)>h(x)>g(x)$ ．祉估

78 📝 有解析

### 第78题设函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数，$f(1)=f(2)=0, F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，则 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 内（A）没有零点．（B）至少有一个零点．（C）有两个零点。（D）有且仅有一个零点．祉估

79 📝 有解析

### 第79题设函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left[f(x+2)+\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}{1-\cos x}=4$ ，则 $x=2$ 是 $f(x)$ 的（A）不可导点．（B）驻点且是极大值点．（C）驻点且是极小值点．（D）可导的点但不是驻点．

80 📝 有解析

### 第80题设函数 $f(x)=\left|2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-3\right|$ 的驻点个数为 $m$ ，极值点的个数为 $n$ ，则（A）$m=1, n=1$ ．（B）$m=2, n=2$ ．（C）$m=2, n=3$ ．（D）$m=3, n=2$ ．

81 📝 有解析

### 第81题下述论断正确的是（A）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，除 $x=0$ 外均可导，且 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是严格单调增加的．（B）设 $f(x)$ 为偶函数且 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．（C）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处二阶导数存在，且 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．（D）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处三阶导数存在，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x=x_{0}$一定不是 $f(x)$ 的极值点．

82 📝 有解析

### 第82题设 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{x}=-1$ ，则（A）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极小值．（B）$f(0)$ 是 $f(x)$ 的极大值．（C）$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．（D）$x=0$ 是驻点，但 $f(0)$ 不是极值．

83 📝 有解析

### 第83题设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}}\left[1+|f(x)|+\mathrm{e}^{\frac{-\left(x-x_{0}\right)^{4}}{\left[f(x)-\left(x-x_{0}\right)^{2}\right]^{2}}}\right]=1$ ，则（A）$x_{0}$ 不是 $f(x)$ 的驻点．（B）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的驻点，但不是极值点．（C）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点．（D）$x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．伻佔

84 📝 有解析

### 第84题曲线 $\displaystyle y=\frac{1+x}{1-\mathrm{e}^{-x}}$ 的渐近线的条数为（A） 0 ．（B） 1 ．（C） 2 ．（D） 3 ．

85 📝 有解析

### 第85题设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sqrt[n]{n}, n=1,2, \cdots$ ，则下列命题中，正确的是（A）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 能取到最小值，但取不到最大值．（B）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 能取到最大值，但取不到最小值．（C）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既能取到最大值，又能取到最小值．（D）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 既不能取到最大值，又不能取到最小值．

86 📝 有解析

### 第86题设函数 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t^{2}-4 t+3\right) \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, x \in[0,3]$ ，则下列命题中，正确的是（A）$f(x)$ 为单调函数．（B） $4 \mathrm{e}-9$ 为 $f(x)$ 的一个上界．（C）$f(x)$ 的最小值为 0 ．（D）$f(x)$ 不存在最大值．

87 📝 有解析

### 第87题设 $(-\infty,+\infty)$ 上的非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x) f(1-x)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\left|x-\frac{1}{2}\right|}{1+f(x)} \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{16}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

88 📝 有解析

### 第88题若 $\displaystyle \frac{\sin \xi}{\xi}, \frac{\sin \eta}{\eta}$ 分别为 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(0, a)(0\eta$ ．（D）从已知条件无法确定．

89 📝 有解析

### 第89题下列反常积分发散的是（A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x$ ．（B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} \mathrm{~d} x$ ．（C） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}-1} \mathrm{~d} x$ ．（D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．

90 📝 有解析

### 第90题关于反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(\ln x)^{m}\left(1+x^{n}\right)}(m>0, n>0)$ ，下列命题中，正确的是（A）若该积分发散，则必有 $01$ ．（C）若该积分发散，则必有 $m \geqslant 1,01$ ．

91 📝 有解析

### 第91题设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，下述 4 个命题（1）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(x)$ 为奇函数．（2）对任意正常数 $a, \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(x)$ 为偶函数．（3）对任意正常数 $a$ 及常数 $\omega>0, \int_{a}^{a+\omega} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 ⇔ $f(x)$ 有周期 $\omega$ ．（4） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 对 $x$ 有周期 $\omega \Leftrightarrow \int_{0}^{\omega} f(t) \mathrm{d} t=0$ ．正确的命题个数为（A） 4 个．（B） 3 个．（C） 2 个．（D） 1 个．

92 📝 有解析

### 第92题设函数 $f(x)$ 连续且以 $T$ 为周期，则下列函数中以 $T$ 为周期的函数为（A） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．（B） $\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．（C） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．（D） $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{-x}^{0} f(t) \mathrm{d} t$ ．

93 📝 有解析

### 第93题设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $f(0)=0$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x^{2}}{f(x) \int_{0}^{x} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}=3$ ，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（A）不连续．（B）连续但不可导．（C）可导且 $f^{\prime}(0)=2$ ．（D）可导且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ．

94 📝 有解析

### 第94题设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & x \leqslant 0, \\ x^{2}+a, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=0$ 处（A）极限存在但不连续．（B）连续但不可导．（C）可导．（D）是否可导与 $a$ 的取值有关．

95 📝 有解析

### 第95题设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\tan x}{1+x^{4}}+x^{8}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left[\sin ^{8} x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{4} x+\right. \left.\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{-x} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ，则有（A）$P>N>M$ ．（B）$N>P>M$ ．（C）$N>M>P$ ．（D）$P>M>N$ ．

96 📝 有解析

### 第96题设 $\displaystyle f(x)=\int_{-1}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t, x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积为（A） $2 \int_{0}^{1} x \sin x \mathrm{~d} x$ ．（B） $2 \int_{0}^{1} x^{2} \sin x \mathrm{~d} x$ ．（C） $2 \int_{0}^{1} x \cos x \mathrm{~d} x$ ．（D） $2 \int_{0}^{1} x^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

97 📝 有解析

### 第97题记曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t)\end{array}(a>0,0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)\right.$ 与 $x$ 轴所围区域为 $D . D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $V_{1}$ ，绕直线 $y=2 a$ 旋转一周所得旋转体体积为 $V_{2}$ ，则（A）$V_{1}V_{2}$ ．（D）$V_{1}, V_{2}$ 的大小关系与 $a$ 有关．

98 📝 有解析

### 第98题设在区间 $[-1,1]$ 上，$|f(x)| \leqslant x^{2}, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，记 $I=\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（A）$I=0$ ．（B）$I>0$ ．（C）$I<0$ ．（D）$I$ 的正负不确定．建设容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

99 📝 有解析

### 第99题下列结论正确的是（A） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=0$ ．（B） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=0$ ．（C） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x=0$ ．（D） $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{-|x|} \mathrm{d} x=1$ ．

100 📝 有解析

### 第100题设 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 为非零向量，且 $\displaystyle |\boldsymbol{b}|=1,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\boldsymbol{a}+x \boldsymbol{b}|-|\boldsymbol{a}|}{\mathrm{e}^{x}-1}=$ （A） 0 ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

101 📝 有解析

### 第101题设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0, \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则 $L$ （A）平行于 $\Pi$ ．（B）在 $\Pi$ 上．（C）垂直于 $\Pi$ ．（D）与 $\Pi$ 斜交．

102 📝 有解析

### 第102题设 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内有定义，且 $$ $\Delta z=f(x, y)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)=a\left(x-x_{0}\right)+b\left(y-y_{0}\right)+o(\rho),$ $$ 其中 $\rho=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-x_{0}\right)^{2}}$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}-y\right)}{y}=$ （A）$a$ ．（B）$a+b$ ．（C） $2 a$ ．（D） $2 b$ ． ## 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

103 📝 有解析

### 第103题二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处（A）极限存在但不连续．（B）连续但偏导数不存在．（C）偏导数存在但不可微。（D）可微．祉估

104 📝 有解析

### 第104题设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{a}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是（A）$\alpha<1$ ．（B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．

105 📝 有解析

### 第105题设 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}=-1$ ，则下列结论不正确的是（A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（B）$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在．（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处取极小值．（D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点处不可微．

106 📝 有解析

### 第106题若函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=2$ ，且 $f(x, 1)=x+2$ ，又 $f_{y}^{\prime}(x, 1)=x+1$ ，则 $f(x$ ， y）＝（A）$y^{2}+(x-1) y-2$ ．（B）$y^{2}+(x+1) y+2$ ．（C）$y^{2}+(x-1) y+2$ ．（D）$y^{2}+(x+1) y-2$ ． ## 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取

107 📝 有解析

### 第107题设函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f(0,0)=0, f(2,1)>3, f_{y}^{\prime}(x, y)<0$ ，则至少存在一点（ $x_{0}, y_{0}$ ），使（A）$f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<1$ ．（B）$f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<-3$ ．（C）$\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{3}{2}$ ．（D）$\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>\frac{3}{2}$ ．

108 📝 有解析

### 第108题设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处有定义，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-1}=2$ ，则下列结论不正确的是（A）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续．（B）$f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=0$ ．（C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微．（D）$f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取极大值．建设荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

109 📝 有解析

### 第109题设 $f(x, y)$ 连续，则 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y=$ （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{-2}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{-2}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{4-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ ．

110 📝 有解析

### 第110题 $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \mathrm{~d} y \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} x=$$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（C） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{2 x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2 \sqrt{2}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．建设容题时间 $\leqslant 5 \mathrm{~min}

111 📝 有解析

### 第111题若已知 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{2}{\pi}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\pi} x f(\sin y) \mathrm{d} y=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ．（C）$\displaystyle \frac{4}{\pi^{2}}$ ．（D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{4}$ ．

112 📝 有解析

### 第112题设区域 $D$ 是 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 在第一、四象限的部分，$f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则二重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-1}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（B） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（C） $2 \int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{1} f(r, \theta) \mathrm{d} r$ ．

113 📝 有解析

### 第113题设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第二象限内的点 $M$ 和第四象限内的点 $N . T$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是（A） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．（B） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．（C） $\int_{T} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．（D） $\int_{T} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．伻估

114 📝 有解析

### 第114题设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1$（按逆时针方向绕行），$I=\int_{L} x y^{3} \mathrm{~d} y-y x^{2} \mathrm{~d} x, J=\int_{L} y x^{4} \mathrm{~d} x+x y^{4} \mathrm{~d} y$ ， $K=\int_{L} x y^{3} \mathrm{~d} y+y x^{2} \mathrm{~d} x$ ，则（A）$I

115 📝 有解析

### 第115题下列四个曲线积分中，在区域 $0

116 📝 有解析

### 第116题设 $\Sigma: z^{2}=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1), \Sigma_{1}$ 为 $\Sigma$ 在第一卦限中的部分，则有（A） $\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_{1}} x^{3} \mathrm{~d} S$ ．（B） $\iint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} S=8 \iint_{\Sigma_{1}} x^{2} \mathrm{~d} S$ ．（C） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_{1}} y \mathrm{~d} S$ ．（D） $\iint_{\Sigma} x^{3} y^{2} z \mathrm{~d} S=4 \iint_{\Sigma_{1}} x^{3} y^{2} z \mathrm{~d} S$ ．

117 📝 有解析

### 第117题设空间区域 $\Omega$ 由曲面 $z=a^{2}-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $z=0$ 所围成，其中 $a$ 为正常数．记 $\Omega$表面的外侧为 $\Sigma, \Omega$ 的体积为 $V$ ，则 $\oiint_{\Sigma} x^{2} y z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x y^{2} z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z(1+x y z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）0．（B）$\displaystyle \frac{V}{2}$ ．（C）$V$ ．（D） $2 V$ ．

118 📝 有解析

### 第118题设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则（A） $\iiint_{\Omega_{1}} x^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x^{3} \mathrm{~d} v$ ．（B） $\iiint_{\Omega_{1}} y^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y^{3} \mathrm{~d} v$ ．（C） $\iiint_{\Omega_{1}} z^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z^{3} \mathrm{~d} v$ ．（D） $\iiint_{\Omega_{1}} x^{3} y^{3} z^{3} \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x^{3} y^{3} z^{3} \mathrm{~d} v$ ．

119 📝 有解析

### 第119题曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 在数值上等于（A）面密度为 $z^{2}$ 的曲面 $\Sigma$ 的质量．（B）向量 $z^{2} i$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．（C）向量 $z^{2} j$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．（D）向量 $z^{2} k$ 穿过曲面 $\Sigma$ 的流量．

120 📝 有解析

### 第120题若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}+a_{n}}{2}$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right)$ 发散，则级数（A）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛。（B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 收敛。（C）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．（D）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。

121 📝 有解析

### 第121题对于常数 $k>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \tan \left(\frac{1}{n}+\frac{k}{n^{2}}\right)$ ．（A）绝对收敛．（B）条件收敛．（C）发散．（D）收敛性与 $k$ 的取值相关．

122 📝 有解析

### 第122题设 $p>0$ 为常数，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{2 n+1} \sin \frac{1}{n^{p}}$ （A）绝对收敛．（B）条件收敛。（C）发散．（D）收敛性与 $p$ 的取值相关．

123 📝 有解析

### 第123题要使级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛，只需（A）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。（B）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛．（C）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收敛。（D）$\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 绝对收敛。衦估

125 📝 有解析

### 第125题设 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n^{2} a_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ （A）条件收敛。（B）绝对收敛．（C）发散．（D）玫散性不定．建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

126 📝 有解析

### 第126题设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=2$ 处条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1}(x-1)^{n}$ 在 $\displaystyle x=\frac{5}{2}$ 处（A）绝对收敛．（B）条件收敛．（C）必发散．（D）敛散性由 $\left\{a_{n}\right\}$ 确定．

127 📝 有解析

### 第127题设 $p(x), q(x), f(x)$ 均是已知的连续函数，$y_{1}(x), y_{2}(x), y_{3}(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+ q(x) y=f(x)$ 的 3 个线性无关的解，$C_{1}$ 与 $C_{2}$ 为任意常数，则方程的通解为（A）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}+C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{2}\right) y_{3}$. （B）$\left(C_{1}-C_{2}\right) y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$ ．（C） $2 C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．（D）$C_{1} y_{1}+\left(C_{2}-C_{1}\right) y_{2}+\left(1+C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$ ．

128 📝 有解析

### 第128题设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间（0， $+\infty)$ 上有界，则实数 $b$ 的取值范围是（A）$[0,+\infty)$ ．（B）$(-\infty, 0)$ ．（C）$(-\infty, 2)$ ．（D）$(-\infty,+\infty)$ ．

129 📝 有解析

### 第129题如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则（A）$a=-1, b=1$ ．（B）$a=1, b=-1$ ．（C）$a=2, b=1$ ．（D）$a=2, b=2$ ．建放答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

130 📝 有解析

### 第130题已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $y(x)$ 等于（A） $\sin 2 x$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ．（C）$\displaystyle \frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ．（D）$\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ． ## 解答题

131 📝 有解析

### 第131题设 $\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

132 📝 有解析

### 第132题（1）证明：对 $\displaystyle x>0, x-\frac{1}{3} x^{3}<\arctan x

133 📝 有解析

### 第133题设二元函数 $\displaystyle F(x, y)=\frac{1}{2 x} \varphi(y-x)$ ，且 $\displaystyle F(1, y)=\frac{y^{2}}{2}-y+5$ ．又设 $x_{1}>0, x_{n+1}=F\left(x_{n}\right.$ ， $\left.2 x_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ．（1）证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛；（2）求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

134 📝 有解析

### 第134题设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=3+\frac{4}{x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求它的极限．

135 📝 有解析

### 第135题设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0) \neq 0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}{x^{\alpha}-\sin x}=\beta \neq 0$ ，求 $\alpha$ 与 $\beta$ ．辣估管题区或 sㅓㄴㅐst． 뎡류

136 📝 有解析

### 第136题讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x\left(x^{2}-4\right)}{\sin \pi x}, & x>0, \\ \frac{x(x+1)}{x^{2}-1}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 的连续性并指出间断点的类型．建议荅题时问 10 min

137 📝 有解析

### 第137题设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)$ ，试证至少存在一个 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，且 $\beta$ — $\displaystyle \alpha=\frac{b-a}{2}$ ，使 $f(\alpha)=f(\beta)$ 。

138 📝 有解析

### 第138题证明：当 $0

139 📝 有解析

### 第139题设函数 $y=f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3} f(u)}{f(x) \sin ^{3} u}$ ，其中 $u$ 是曲线 $y=f(x)$ 上点 $P(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距．管題区1或筆記己

140 📝 有解析

### 第140题设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，$f(a)=f(b)=0$ ．试证存在 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ ．

141 📝 有解析

### 第141题（1）证明：对于任意实数 $x$ ，均有 $\displaystyle \mathrm{e}^{-x^{2}} \leqslant \frac{1}{1+x^{2}}$ ．（2）证明： $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且对任意正整数 $n(n \geqslant 2)$ ，均有 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant \frac{\pi \sqrt{n}}{2} \cdot \frac{(2 n-3)!!}{(2 n-2)!!}$ 。

142 📝 有解析

### 第142题证明：在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得 $$ $\displaystyle \left[\mathrm{e}^{-x_{1}}\left(\cos x_{1}-\sin x_{1}\right)\right] x_{3}=\left[\mathrm{e}^{-x_{2}}\left(\cos x_{2}-\sin x_{2}\right)\right]\left(\frac{\pi}{2}-x_{3}\right) .$ $$

143 📝 有解析

### 第143题设 $f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-2 t^{3}\right) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，试确定方程 $f(x)=0$ 的实根个数．

144 📝 有解析

### 第144题设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ．试证明至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ ，使 $$ $\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant 8 \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}|f(x)| .$ $$

145 📝 有解析

### 第145题设 $R=R(x)$ 是抛物线 $y=\sqrt{x}$ 上任一点 $M(x, y)(x \geqslant 1)$ 处的曲率半径，$S=S(x)$是该抛物线上点 $A(1,1)$ 与点 $M$ 之间的弧长，求 $\displaystyle 3 R \frac{\mathrm{~d}^{2} R}{\mathrm{~d} S^{2}}-\left(\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{~d} S}\right)^{2}$ ．

146 📝 有解析

### 第146题设 $f(x)$ 具有一阶连续导数，且 $f(0)=1, f(1)=a$ ．（1）求使得 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得最大值的 $f(x)$ 的表达式．（2）将 $\displaystyle 1+\frac{a}{\sqrt{2}}-\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} \mathrm{~d} x$ 取得的最大值记为 $g(a)$ ，当 $a$ 为何值时，$g(a)$ 取得最大值？并求出该最大值．

147 📝 有解析

### 第147题已知函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有定义，$f(x) \neq 0$ ，且满足 $$ f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{t \tan \frac{x}{t}\left[g\left(a x+\frac{x}{t}\right)-g(a x)\right]}{a-\arctan \frac{t}{x}}, $$ 其中函数 $g(x)$ 可导，且 $\displaystyle \arctan \frac{1}{x}$ 是 $g(x)$ 的一个原函数。（1）求参数 $a$ 的值；（2）计算 $\displaystyle \int_{\frac{2}{x}}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．建役荅题时问 $\leqslant 14 \mathrm{~min}$ 锌佔

148 📝 有解析

### 第148题设 $G^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} G(x)=0$ ，求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} t^{2} G(t) \mathrm{d} t$ ．

149 📝 有解析

### 第149题设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $$ $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0 .$ $$

150 📝 有解析

### 第150题设 $\displaystyle a>0, f(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(a x^{2}+1\right) \sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x$ ．判断 $f^{\prime}(1)$ 是否存在，若存在，试求其值。建议荅题时问

151 📝 有解析

### 第151题已知直线 $L$ 过点 $A(1,0,-2)$ 且与 $\Pi: 3 x-y+2 z+3=0$ 平行，同时与 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-1}{4}= \frac{3-y}{2}=z$ 相交，求 $L$ 的方程．建议谷题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

152 📝 有解析

### 第152题设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 证明：若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ ．

153 📝 有解析

### 第153题设 $z=f(x, y)$ 有连续偏导数，证明：存在可微函数 $g(u)$ ，使得 $f(x, y)=g(a x+ b y)(a b \neq 0)$ 的充要条件是 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle b \frac{\partial z}{\partial x}=a \frac{\partial z}{\partial y}$ ．建设荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 簦题区域 ##

154 📝 有解析

### 第154题设 $\displaystyle u=\frac{x+y}{2}, v=\frac{x-y}{2}, w=z \mathrm{e}^{y}$ ，取 $u, v$ 为新自变量，$w=w(u, v)$ 为新函数，变换方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial z}{\partial x}=z$ ．其中 $z=z(x, y)$ 具有连续的二阶偏导函数．建议荅题时问

155 📝 有解析

### 第155题设 $f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，$g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{x y}, x^{2}+y^{2}\right)$ ，且 $f(x, y)=1-x-y+ o\left(\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\right)$ ，证明 $g(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值．

156 📝 有解析

### 第156题求二元函数 $z=f(x, y)=x^{2}-y^{2}-4 x+6$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 9\right\}$ 上的最大值和最小值．

157 📝 有解析

### 第157题设 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求函数 $f(x, y, z)=2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值。建设容题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

158 📝 有解析

### 第158题设曲面 $S: z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ ，有一点光源位于点 $P_{0}(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2)$ ．（1）求曲面 $S$ 上受光部分与背光部分的分界线方程（设曲面 $S$ 不透光）；（2）求上述分界线上 $z$ 坐标的最大值．衦估

159 📝 有解析

### 第159题已知 $u=u(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，试确定参数 $a$ 和 $b$ ，使原方程在变换 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下不出现一阶偏导数项．

160 📝 有解析

### 第160题求积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{1}^{y}\left(\mathrm{e}^{-x^{2}}+\mathrm{e}^{x} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

161 📝 有解析

### 第161题求二重积分 $I=\iint_{D}\left(\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+x^{5} \sin ^{2} y\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D$ 为 $x^{2}+y^{2}=1$ 的上半圆与 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 的下半圆所围成的区域．建设荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 的形式，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

163 📝 有解析

### 第163题计算积分 $\displaystyle I=\int_{C} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 为上半椭圆 $\displaystyle y=b \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}$ 从 $A(-a, 0)$ 到 $B(a, 0)$ ．

164 📝 有解析

### 第164题设 $C$ 是圆周 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=r^{2}$ ，取逆时针方向，$f(x)$ 是连续的正值函数，证明： $$ $\displaystyle \oint_{C} x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geqslant 2 \pi r^{2} .$ $$

165 📝 有解析

### 第165题计算积分 $I=\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $z= 1, z=2$ 所截部分的外侧．

166 📝 有解析

### 第166题计算积分 $\displaystyle I=\oiint_{\Sigma} \frac{\mathrm{d} y \mathrm{~d} z}{x}+\frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} x}{y}+\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{z}$ ，其中 $\Sigma$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧． ## 更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取更多考研无水印笔记书籍资料，【】，回复【PDF】免费获取

167 📝 有解析

### 第167题设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+2 x-2 x^{2}}$ ，试证级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 绝对收敛．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+(-1)^{n}}}$ 的玫散性，若收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛．

169 📝 有解析

### 第169题已知 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=1$ ，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}\right)$ 条件收敛。将下列函数在指定点展为幂级数：（1）$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ ，在 $x=1$ 处；（2）$f(x)=2^{x}$ ，在 $x=1$ 处；（3）$\displaystyle f(x)=\ln \frac{1}{2+2 x+x^{2}}$ ，在 $x=-1$ 处。

171 📝 有解析

### 第171题求下列幂级数的和函数：（1）$\sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n 2^{n-1}} x^{n-1}$ ；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(1+\frac{1}{n(2 n-1)}\right) x^{2 n}$ ；（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^{2}-1} x^{n}$ ．锃估

172 📝 有解析

### 第172题设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足：（1）数列 $\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ 有界；（2）$a_{n}$ 单调递减，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．试证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。建衩答题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$ 祉估

173 📝 有解析

### 第173题设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q\left(a_{n}>0\right)$ ，试证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 在 $q>1$ 时收敛，在 $q<1$ 时发散．祥佔

174 📝 有解析

### 第174题设偶函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 某邻域内有二阶连续导数，$f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ ，试证级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛。祥佔

175 📝 有解析

### 第175题设 $f(x), g(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=g(x), g^{\prime}(x)=4 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ ，且 $f(0)=g(0)=0$ ，求定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{x}{2}}\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^{2}}\right] \mathrm{d} x$ ．

176 📝 有解析

### 第176题设函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}$ ．若由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=1, x= t(t>1)$ 与 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周而成的旋转体体积为 $\displaystyle V(t)=\frac{\pi}{3}\left[t^{2} f(t)-\right. f(1)]$ ，求 $f(x)(x \geqslant 1)$ ．建放荅题时门

177 📝 有解析

### 第177题设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内二阶可导且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数．（1）将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{3}=0$ 变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程．（2）求（1）中变换后的微分方程满足初始条件 $\displaystyle y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$ 的特解． ## ## 纠龍筸觜记

178 📝 有解析

### 第178题设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，其反函数为 $g(x)$ ，并设 $$ $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x},$ $$ 求 $f(x)$ ．建议荅题时问

179 📝 有解析

### 第179题求当 $x \geqslant 0$ 时的 $f(x)$ ，设当 $x \geqslant 0$ 时 $f(x)$ 有一阶连续导数，并且满足 $$ f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) \mathrm{d} t . $$

180 📝 有解析

### 第180题设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x) \neq 0$ ，且对 $(-\infty,+\infty)$ 内的任意 $x$ 与 $y$ ，恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$ ．又设 $f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(0)=a \neq 0$ ．试证明对一切 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)$ 存在，并求 $f(x)$ ．