kaoyan1advanced 高等数学 第180题
📝 题目
### 第180题
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x) \neq 0$ ，且对 $(-\infty,+\infty)$ 内的任意 $x$ 与 $y$ ，恒有 $f(x+y)=f(x) f(y)$ ．又设 $f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(0)=a \neq 0$ ．
试证明对一切 $x \in(-\infty,+\infty), f^{\prime}(x)$ 存在，并求 $f(x)$ ．
💡 答案解析
**答案**：$f(x) = e^{ax}$ **解析**： 步骤1：由 $f(x+y) = f(x) f(y)$，令 $y=0$ 得 $f(x) = f(x) f(0)$，因 $f(x) \neq 0$，故 $f(0)=1$。 步骤2：由导数定义，$\displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x) f(h) - f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - 1}{h} = f(x) f'(0) = a f(x)$。 步骤3：解微分方程 $f'(x) = a f(x)$，得 $f(x) = C e^{ax}$，由 $f(0)=1$ 得 $C=1$，故 $f(x) = e^{ax}$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定f(0)的值
由函数方程 $f(x+y)=f(x)f(y)$，令 $y=0$，得 $f(x)=f(x)f(0)$。由于 $f(x) \neq 0$，两边除以 $f(x)$ 得 $f(0)=1$。
公式：$$f(x+y)=f(x)f(y)$$
提示：注意f(x)≠0的条件
步骤 2/4
目标：利用导数定义证明f'(x)存在并求表达式
对任意 $x \in (-\infty,+\infty)$，由导数定义：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h}.$$
由于 $f'(0)$ 存在且 $f'(0)=a$，而 $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = f'(0)=a$，故 $f'(x)=af(x)$ 存在。
公式：$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-1}{h} = a f(x)$$
提示：注意f(0)=1的隐含条件
步骤 3/4
目标：解微分方程求f(x)
由 $f'(x)=af(x)$ 得 $\frac{df}{dx}=af$，分离变量 $\frac{df}{f}=a\,dx$，积分得 $\ln|f|=ax+C$，即 $f(x)=Ce^{ax}$。代入 $f(0)=1$ 得 $C=1$，故 $f(x)=e^{ax}$。
公式：$$\frac{df}{dx}=af$$
提示：注意分离变量时f≠0
步骤 4/4
目标：给出最终答案
因此，对一切 $x \in (-\infty,+\infty)$，$f'(x)$ 存在，且 $f(x)=e^{ax}$。
提示：注意f(x)≠0的条件
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