kaoyan1advanced 高等数学 第179题

**答案**：$f(x) = \tan x$ **解析**： 步骤1：令 $u = f(t)$，则 $du = f'(t) dt$，积分 $\int_0^x (x-t) f(t) f'(t) dt = \int_{f(0)}^{f(x)} (x - t(u)) u du$，但更直接求导。 步骤2：对原式两边求导得 $f'(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) f'(t) dt$（利用含参积分求导公式）。 步骤3：再求导得 $f''(x) = 2 f(x) f'(x)$。 步骤4：令 $p = f'(x)$，则 $\displaystyle f'' = p \frac{dp}{df}$，代入得 $\displaystyle p \frac{dp}{df} = 2 f p$，由 $p \neq 0$ 得 $\displaystyle \frac{dp}{df} = 2f$，积分得 $p = f^2 + C_1$。 步骤5：由原式令 $x=0$ 得 $f(0) = -1$，代入 $p(0) = f'(0)$，由原式求导后令 $x=0$ 得 $f'(0) = 1 + 0 = 1$，故 $1 = (-1)^2 + C_1$，得 $C_1 = 0$，所以 $p = f^2$，即 $\displaystyle \frac{df}{dx} = f^2$。 步骤6：分离变量得 $\displaystyle \frac{df}{f^2} = dx$，积分得 $\displaystyle -\frac{1}{f} = x + C_2$，由 $f(0) = -1$ 得 $1 = 0 + C_2$，$C_2 = 1$，故 $\displaystyle -\frac{1}{f} = x + 1$，即 $\displaystyle f(x) = -\frac{1}{x+1}$。 步骤7：验证：$\displaystyle f(x) = -\frac{1}{x+1}$ 代入原式，右边 $\displaystyle -1 + x + 2\int_0^x (x-t) \cdot \frac{1}{(t+1)^2} dt$，计算得 $\displaystyle -1 + x + 2\left[ x \int_0^x \frac{1}{(t+1)^2} dt - \int_0^x \frac{t}{(t+1)^2} dt \right] = -1 + x + 2\left[ x(1 - \frac{1}{x+1}) - (\ln(x+1) + \frac{1}{x+1} - 1) \right]$，化简得 $\displaystyle -1 + x + 2\left[ \frac{x^2}{x+1} - \ln(x+1) - \frac{1}{x+1} + 1 \right] = -1 + x + \frac{2x^2 - 2}{x+1} - 2\ln(x+1) + 2 = x + 1 + \frac{2(x^2-1)}{x+1} - 2\ln(x+1) = x + 1 + 2(x-1) - 2\ln(x+1) = 3x - 1 - 2\ln(x+1)$，不等于左边 $\displaystyle -\frac{1}{x+1}$，故错误。 步骤8：重新计算：由 $f'' = 2 f f'$ 积分得 $f' = f^2 + C$，由 $f(0)=-1$，$f'(0)=1$ 得 $C=0$，故 $f' = f^2$，解为 $\displaystyle f = -\frac{1}{x+1}$，但验证不成立，说明求导过程有误。 步骤9：原式 $f(x) = -1 + x + 2 \int_0^x (x-t) f(t) f'(t) dt$，求导得 $f'(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) f'(t) dt$（因为 $\displaystyle \frac{d}{dx} \int_0^x (x-t) g(t) dt = \int_0^x g(t) dt$），正确。再求导得 $f''(x) = 2 f(x) f'(x)$，正确。 步骤10：解 $f'' = 2 f f'$ 得 $f' = f^2 + C$，由 $f(0)=-1$，$f'(0)=1$ 得 $C=0$，故 $f' = f^2$，解为 $\displaystyle f = -\frac{1}{x+C}$，由 $f(0)=-1$ 得 $C=1$，故 $\displaystyle f = -\frac{1}{x+1}$。 步骤11：代入原式验证：计算 $\int_0^x (x-t) f(t) f'(t) dt$，其中 $\displaystyle f(t) = -\frac{1}{t+1}$，$\displaystyle f'(t) = \frac{1}{(t+1)^2}$，故 $\displaystyle f(t) f'(t) = -\frac{1}{(t+1)^3}$，积分 $\displaystyle \int_0^x (x-t) \left(-\frac{1}{(t+1)^3}\right) dt = -\int_0^x \frac{x-t}{(t+1)^3} dt$，令 $u = t+1$，则 $t = u-1$，$dt = du$，积分限 $u$ 从 $1$ 到 $x+1$，被积函数 $\displaystyle \frac{x - (u-1)}{u^3} = \frac{x+1 - u}{u^3}$，积分 $\displaystyle = -\int_1^{x+1} \frac{x+1 - u}{u^3} du = -\left[ (x+1) \int_1^{x+1} u^{-3} du - \int_1^{x+1} u^{-2} du \right] = -\left[ (x+1) \left( -\frac{1}{2} u^{-2} \right)_1^{x+1} - \left( -u^{-1} \right)_1^{x+1} \right] = -\left[ -\frac{x+1}{2} \left( \frac{1}{(x+1)^2} - 1 \right) + \left( \frac{1}{x+1} - 1 \right) \right] = -\left[ -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{x+1} - (x+1) \right) + \frac{1}{x+1} - 1 \right] = -\left[ -\frac{1}{2(x+1)} + \frac{x+1}{2} + \frac{1}{x+1} - 1 \right] = -\left[ \frac{1}{2(x+1)} + \frac{x+1}{2} - 1 \right] = -\frac{1}{2(x+1)} - \frac{x+1}{2} + 1$。 步骤12：则 $2 \times$ 积分 $\displaystyle = -\frac{1}{x+1} - (x+1) + 2$，原式右边 $\displaystyle = -1 + x + \left( -\frac{1}{x+1} - x - 1 + 2 \right) = -1 + x - \frac{1}{x+1} - x + 1 = -\frac{1}{x+1}$，等于左边，正确。故 $\displaystyle f(x) = -\frac{1}{x+1}$。

**难度**：★★★★☆