kaoyan1advanced 高等数学 第178题
📝 题目
### 第178题
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f^{\prime}(x) \neq 0$ ，其反函数为 $g(x)$ ，并设
$$ $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x},$ $$
求 $f(x)$ ． 建议荅题时问
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x) = \frac{2x e^x}{1 + e^x}$ **解析**： 步骤1：对等式两边求导，得 $f'(x) g(f(x)) + f(x) = 2x e^x + x^2 e^x$。 步骤2：由反函数性质 $g(f(x)) = x$，代入得 $f'(x) \cdot x + f(x) = x e^x (2 + x)$。 步骤3：即 $x f'(x) + f(x) = x e^x (x+2)$，左边为 $(x f(x))'$，故 $(x f(x))' = x e^x (x+2)$。 步骤4：积分得 $x f(x) = \int x e^x (x+2) dx = \int (x^2 e^x + 2x e^x) dx = (x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x) + 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x + C$。 步骤5：由原等式令 $x=0$ 得 $0 + 0 = 0$，故 $C=0$，所以 $f(x) = x e^x$，但需满足 $f'(x) \neq 0$，$f'(x)=e^x (x+1)$，当 $x \neq -1$ 时非零，成立。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对等式两边求导
对原等式 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 两边关于 $x$ 求导，利用变上限积分求导法则：
$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{f(x)} g(t) dt = g(f(x)) f'(x), \quad \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(t) dt = f(x),$$
右边导数为 $2x e^x + x^2 e^x$，因此得到
$$f'(x) g(f(x)) + f(x) = 2x e^x + x^2 e^x.$$
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{f(x)} g(t) dt = g(f(x)) f'(x), \quad \frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(t) dt = f(x)$$
提示：注意复合函数求导时内层函数f(x)的导数不可遗漏
步骤 2/5
目标：利用反函数性质化简
由于 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，有 $g(f(x)) = x$，代入上式得
$$f'(x) \cdot x + f(x) = x e^x (x+2).$$
公式：$$g(f(x)) = x$$
提示：注意反函数定义域对应关系
步骤 3/5
目标：识别导数形式并积分
左边恰好是 $(x f(x))'$，因此
$$(x f(x))' = x e^x (x+2) = x^2 e^x + 2x e^x.$$
两边积分得
$$x f(x) = \int (x^2 e^x + 2x e^x) dx = \int x^2 e^x dx + 2\int x e^x dx.$$
计算积分：
$$\int x e^x dx = (x-1)e^x + C_1,$$
$$\int x^2 e^x dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C_2,$$
所以
$$x f(x) = (x^2 - 2x + 2)e^x + 2(x-1)e^x + C = x^2 e^x + C.$$
公式：$$(x f(x))' = x e^x (x+2)$$
提示：注意积分常数C的合并
步骤 4/5
目标：确定常数并得到函数表达式
在原等式中令 $x=0$，得 $\int_{0}^{f(0)} g(t) dt + \int_{0}^{0} f(t) dt = 0$，即 $\int_{0}^{f(0)} g(t) dt = 0$。由于 $g(t)$ 是反函数，$f(0)$ 应使得该积分为0，通常取 $f(0)=0$，代入 $x f(x) = x^2 e^x + C$ 得 $0 = 0 + C$，故 $C=0$。因此
$$x f(x) = x^2 e^x \quad \Rightarrow \quad f(x) = x e^x \quad (x \geq 0).$$
公式：$$x f(x) = x^2 e^x$$
提示：注意反函数性质与积分限对应
步骤 5/5
目标：验证条件
计算导数 $f'(x) = e^x (x+1)$，在 $[0,+\infty)$ 上 $f'(x) > 0$，满足 $f'(x) \neq 0$，且反函数存在。因此所求函数为 $f(x) = x e^x$。
提示：验证导数非零确保反函数存在
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