kaoyan1advanced 高等数学 第56题
📝 题目
### 第56题
x y^{\prime}=y($\ln y-\ln x)$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=xe^{Cx+1}$ **解析**： 步骤1：方程化为$\displaystyle y'=\frac{y}{x}\ln\frac{y}{x}$，令$\displaystyle u=\frac{y}{x}$，则$y'=u+xu'$，代入得$u+xu'=u\ln u$。 步骤2：分离变量$\displaystyle \frac{du}{u(\ln u-1)}=\frac{dx}{x}$，积分得$\ln|\ln u-1|=\ln|x|+C$，即$\ln u-1=Cx$。 步骤3：回代$\displaystyle u=\frac{y}{x}$得$\displaystyle \ln\frac{y}{x}=Cx+1$，故$y=xe^{Cx+1}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：步骤1：化简方程并引入变量代换
原方程 $xy' = y(\ln y - \ln x)$ 可化为 $y' = \frac{y}{x} \ln \frac{y}{x}$。令 $u = \frac{y}{x}$，则 $y = ux$，求导得 $y' = u + xu'$。代入方程得 $u + xu' = u \ln u$。
公式：$$y' = \frac{y}{x} \ln \frac{y}{x}$$
提示：注意齐次方程代换后求导
步骤 2/4
目标：步骤2：分离变量并积分
将 $u + xu' = u \ln u$ 整理为 $xu' = u(\ln u - 1)$，即 $\frac{du}{dx} = \frac{u(\ln u - 1)}{x}$。分离变量得 $\frac{du}{u(\ln u - 1)} = \frac{dx}{x}$。两边积分：$\int \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int \frac{dx}{x}$。令 $t = \ln u - 1$，则 $dt = \frac{du}{u}$，积分得 $\ln |t| = \ln |x| + C$，即 $\ln |\ln u - 1| = \ln |x| + C$。
公式：$$\int \frac{du}{u(\ln u - 1)} = \int \frac{dx}{x}$$
提示：注意换元时dt=du/u的推导
步骤 3/4
目标：步骤3：求解u的表达式
由 $\ln |\ln u - 1| = \ln |x| + C$ 得 $\ln u - 1 = \pm e^C x$，记 $C_1 = \pm e^C$，则 $\ln u - 1 = C_1 x$，即 $\ln u = C_1 x + 1$。
公式：$$\ln u - 1 = C_1 x$$
提示：注意绝对值去掉后符号处理
步骤 4/4
目标：步骤4：回代并得到通解
由 $u = \frac{y}{x}$ 回代得 $\ln \frac{y}{x} = C_1 x + 1$，因此 $\frac{y}{x} = e^{C_1 x + 1}$，即 $y = x e^{C_1 x + 1}$。将 $C_1$ 记为任意常数 $C$，得通解 $y = x e^{Cx + 1}$。
公式：$$\ln \frac{y}{x} = C_1 x + 1$$
提示：回代时注意指数运算的准确性
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